Mostre que a Equação E^{2}=(p c)^{2}+\left(m c^{2}\right)^{2} pode ser escrita na forma E=m c^{2}\left(1+p^{2} / m^{2} c^{2}\right)^{1 / 2} e use uma expansão binomial para mostrar que, para \mathrm{pc} \ll \mathrm{mc}^{2}, \mathrm{E} \approx \mathrm{mc}^{2}+\mathrm{p}^{2} / 2 \mathrm{~m}. (Expansão binomial: (1+\mathrm{x})^{1 / 2} \approx 1+\mathrm{x} / 2, para \mathrm{x} \ll 1 )

Passo 1

O enunciado dá a equação
E^{2}=(p c)^{2}+\left(m c^{2}\right)^{2}
e pede duas coisas:
  • mostrar que essa equação pode ser escrita como \displaystyle E=m c^{2}\left(1+\frac{p^{2}}{m^{2}c^{2}}\right)^{1/2};
  • usando a expansão binomial \,(1+x)^{1/2}\approx 1+x/2 para x\ll1, mostrar que, quando \,pc\ll mc^{2}, tem-se \displaystyle E\approx mc^{2}+\frac{p^{2}}{2m}.
Informações relevantes do enunciado (já em notação matemática):
  • energia total: E;
  • momento linear: p;
  • massa de repouso: m;
  • velocidade da luz: c;
  • condição de aproximação: pc\ll mc^{2}.

Passo 2

Reescrever a equação inicial isolando um fator comum. A equação é
E^{2}=(p c)^{2}+\left(m c^{2}\right)^{2}.
Fatora-se \left(m c^{2}\right)^{2} no lado direito:
E^{2}=\left(m c^{2}\right)^{2}\!\left(\frac{(p c)^{2}}{(m c^{2})^{2}}+1\right).
Agora simplifica o quociente dentro do parêntese: \dfrac{(p c)^{2}}{(m c^{2})^{2}}=\dfrac{p^{2}c^{2}}{m^{2}c^{4}}=\dfrac{p^{2}}{m^{2}c^{2}}. Logo
E^{2}=\left(m c^{2}\right)^{2}\!\left(1+\frac{p^{2}}{m^{2}c^{2}}\right).

Passo 3

Tomando a raiz quadrada em ambos os lados e escolhendo a raiz positiva (energia é positiva), obtemos
E=m c^{2}\sqrt{1+\frac{p^{2}}{m^{2}c^{2}}}.
Isso é exatamente a forma pedida:
\boxed{\,E=m c^{2}\left(1+\frac{p^{2}}{m^{2}c^{2}}\right)^{1/2}\,}.

Passo 4

Agora usamos a expansão binomial para \sqrt{1+x} quando x\ll1. A fórmula dada é
(1+x)^{1/2}\approx 1+\frac{x}{2}\quad\text{para }x\ll1.
Aqui definimos
x=\frac{p^{2}}{m^{2}c^{2}}.
A condição x\ll1 é equivalente a \dfrac{p^{2}}{m^{2}c^{2}}\ll1, que pode ser escrita como pc\ll mc^{2} (justamente a hipótese do enunciado).

Passo 5

Aplicando a expansão à expressão de E:
E=mc^{2}\left(1+x\right)^{1/2}\approx mc^{2}\left(1+\frac{x}{2}\right).
Substitui-se x=\dfrac{p^{2}}{m^{2}c^{2}}:
E\approx mc^{2}\left(1+\frac{1}{2}\frac{p^{2}}{m^{2}c^{2}}\right).
Multiplica-se mc^{2} pelos termos:
E\approx mc^{2}+\frac{1}{2}\,mc^{2}\cdot\frac{p^{2}}{m^{2}c^{2}}.
No segundo termo simplificam-se mc^{2} com m^{2}c^{2}, sobrando
E\approx mc^{2}+\frac{p^{2}}{2m}.

Passo 6

Interpretação rápida para você lembrar na prova: a expressão aproximada mostra que a energia total é a soma da energia de repouso \,mc^{2} e, como primeiro termo de correção para velocidades pequenas, aparece \,p^{2}/(2m), que é exatamente a energia cinética clássica não-relativística. A condição de validade é pc\ll mc^{2}, ou seja, o momento é pequeno comparado a mc ou a velocidade é bem menor que c.

Resposta

E=m c^{2}\left(1+\dfrac{p^{2}}{m^{2}c^{2}}\right)^{1/2}
E\approx mc^{2}+\dfrac{p^{2}}{2m}

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