Mostre que a Equação
pode ser escrita na forma
e use uma expansão binomial para mostrar que, para
. (Expansão binomial:
, para
)
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede duas coisas:
- mostrar que essa equação pode ser escrita como
; - usando a expansão binomial
para , mostrar que, quando , tem-se .
Informações relevantes do enunciado (já em notação matemática):
- energia total:
; - momento linear:
; - massa de repouso:
; - velocidade da luz:
; - condição de aproximação:
.
Passo 2
Reescrever a equação inicial isolando um fator comum. A equação é
Fatora-se
no lado direito:
Agora simplifica o quociente dentro do parêntese:
. Logo
Passo 3
Tomando a raiz quadrada em ambos os lados e escolhendo a raiz positiva (energia é positiva), obtemos
Isso é exatamente a forma pedida:
Passo 4
Agora usamos a expansão binomial para
quando
. A fórmula dada é
Aqui definimos
A condição
é equivalente a
, que pode ser escrita como
(justamente a hipótese do enunciado).
Passo 5
Aplicando a expansão à expressão de
:
Substitui-se
:
Multiplica-se
pelos termos:
No segundo termo simplificam-se
com
, sobrando
Passo 6
Interpretação rápida para você lembrar na prova: a expressão aproximada mostra que a energia total é a soma da energia de repouso
e, como primeiro termo de correção para velocidades pequenas, aparece
, que é exatamente a energia cinética clássica não-relativística. A condição de validade é
, ou seja, o momento é pequeno comparado a
ou a velocidade é bem menor que
.