- Em uma prova discursiva de Matemática com apenas duas questões, 470 alunos acertaram somente uma das questões e 260 acertaram a segunda. Sendo que 90 alunos acertaram as duas e 210 alunos erraram a primeira questão. Quantos alunos fizeram a prova?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo o que peguei do enunciado está entre parênteses).
- O enunciado pede: quantos alunos fizeram a prova? (ou seja, qual é o total
de alunos). - Informações dadas:
-
alunos acertaram somente uma das questões. -
alunos acertaram a segunda questão (isto inclui os que acertaram as duas). -
alunos acertaram as duas questões. -
alunos erraram a primeira questão.
-
Passo 2
Vamos definir notação e lembrar uma ideia básica (explicada como se fosse na prova).
- Seja
o conjunto dos alunos que acertaram a primeira questão. - Seja
o conjunto dos alunos que acertaram a segunda questão. - Notações importantes:
-
é o número de alunos que acertaram a primeira questão. -
é o número de alunos que acertaram a segunda questão. -
é o número de alunos que acertaram as duas questões. - “Acertaram somente uma das questões” significa os alunos que estão em
ou em mas não em ambos; esse número é . Outra forma prática é: “somente uma” = (apenas primeira) + (apenas segunda).
-
Passo 3
Calcular quantos acertaram somente a segunda e somente a primeira (usar que
inclui os que acertaram as duas).
- Pelo enunciado
e . - Então o número que acertaram somente a segunda é
- Sabemos também que o total que acertou somente uma das questões é
. Esse total é
- Substituindo
obtemos o número que acertaram somente a primeira:
Passo 4
Calcular quantos acertaram a primeira questão (total
).
- Quem acertou a primeira são os que acertaram somente a primeira mais os que acertaram as duas, logo
- Interpretando:
alunos acertaram a primeira questão.
Passo 5
Usar a informação “210 alunos erraram a primeira questão” para achar o total
.
- “Erraram a primeira” significa os que não estão em
. Portanto
- Pelo enunciado esse valor é
. Substituindo :
- Resolvendo:
Passo 6
Verificação rápida (para ter certeza, e para aprender a checar respostas na hora da prova).
- Podemos montar a partição completa dos alunos:
- Só primeira:
. - Só segunda:
. - Ambas:
. - Nenhuma:
.
- Só primeira:
- Conferir consistência com dados:
- Quem acertou a segunda:
(ok). - Quem acertou somente uma:
(ok). - Quem errou a primeira: quem não está em
= (ok).
Tudo consistente.
- Quem acertou a segunda: