• Em uma prova discursiva de Matemática com apenas duas questões, 470 alunos acertaram somente uma das questões e 260 acertaram a segunda. Sendo que 90 alunos acertaram as duas e 210 alunos erraram a primeira questão. Quantos alunos fizeram a prova?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo o que peguei do enunciado está entre parênteses).
  • O enunciado pede: quantos alunos fizeram a prova? (ou seja, qual é o total N de alunos).
  • Informações dadas:
    • 470 alunos acertaram somente uma das questões.
    • 260 alunos acertaram a segunda questão (isto inclui os que acertaram as duas).
    • 90 alunos acertaram as duas questões.
    • 210 alunos erraram a primeira questão.

Passo 2

Vamos definir notação e lembrar uma ideia básica (explicada como se fosse na prova).
  • Seja A o conjunto dos alunos que acertaram a primeira questão.
  • Seja B o conjunto dos alunos que acertaram a segunda questão.
  • Notações importantes:
    • |A| é o número de alunos que acertaram a primeira questão.
    • |B| é o número de alunos que acertaram a segunda questão.
    • |A\cap B| é o número de alunos que acertaram as duas questões.
    • “Acertaram somente uma das questões” significa os alunos que estão em A ou em B mas não em ambos; esse número é |A\setminus B| + |B\setminus A|. Outra forma prática é: “somente uma” = (apenas primeira) + (apenas segunda).

Passo 3

Calcular quantos acertaram somente a segunda e somente a primeira (usar que |B| inclui os que acertaram as duas).
  • Pelo enunciado |B|=260 e |A\cap B|=90.
  • Então o número que acertaram somente a segunda é
|B\setminus A| = |B| - |A\cap B| = 260 - 90 = 170.
  • Sabemos também que o total que acertou somente uma das questões é 470. Esse total é
|A\setminus B| + |B\setminus A| = 470.
  • Substituindo |B\setminus A|=170 obtemos o número que acertaram somente a primeira:
|A\setminus B| = 470 - 170 = 300.

Passo 4

Calcular quantos acertaram a primeira questão (total |A|).
  • Quem acertou a primeira são os que acertaram somente a primeira mais os que acertaram as duas, logo
|A| = |A\setminus B| + |A\cap B| = 300 + 90 = 390.
  • Interpretando: 390 alunos acertaram a primeira questão.

Passo 5

Usar a informação “210 alunos erraram a primeira questão” para achar o total N.
  • “Erraram a primeira” significa os que não estão em A. Portanto
\text{número que erraram a primeira} = N - |A|.ú
  • Pelo enunciado esse valor é 210. Substituindo |A|=390:
N - 390 = 210.
  • Resolvendo:
N = 210 + 390 = 600.

Passo 6

Verificação rápida (para ter certeza, e para aprender a checar respostas na hora da prova).
  • Podemos montar a partição completa dos alunos:
    • Só primeira: 300.
    • Só segunda: 170.
    • Ambas: 90.
    • Nenhuma: N - (300+170+90) = 600 - 560 = 40.
  • Conferir consistência com dados:
    • Quem acertou a segunda: 170 + 90 = 260 (ok).
    • Quem acertou somente uma: 300 + 170 = 470 (ok).
    • Quem errou a primeira: quem não está em A = 170 + 40 = 210 (ok).
      Tudo consistente.

Resposta

600

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