Trilhos condutores A e B, tendo comprimentos iguais de 42,6 \mathrm{~m} \mathrm{e} área da seção transversal de 91,0 \mathrm{~cm}^{2} são conectados em série. Uma diferença de potencial de 630 V é aplicada entre os terminais dos trilhos conectados em série. As resistências dos trilhos são de 76,2 \mu \Omega e de 35 \mu \Omega. Determine as resistividades dos trilhos

Passo 1

O enunciado fornece:
  • Comprimento de cada trilho: 42{,}6\\ \mathrm{m}.
  • Área da seção transversal comum: 91{,}0\\ \mathrm{cm}^{2}.
  • Os trilhos estão conectados em série e foi aplicada uma diferença de potencial de 630\\ \mathrm{V} entre os terminais (informação dada, possivelmente para confundir).
  • Resistências dos trilhos: 76{,}2\\ \mu\Omega e 35\\ \mu\Omega.
    O que se pede:
  • Determinar as resistividades dos dois trilhos (ou seja, o valor de \rho para cada trilho).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • A resistividade \rho é uma propriedade do material que relaciona a resistência elétrica R de um fio com seu comprimento L e sua área da seção transversal A.
  • A relação é dada por:
R=\rho\,\frac{L}{A}.
  • Isolando \rho, obtemos a fórmula prática que vamos usar:
\rho=R\,\frac{A}{L}.
  • O que cada símbolo significa:
    • \rho é a resistividade, em \Omega\cdot\mathrm{m}.
    • R é a resistência elétrica do trilho, em \Omega.
    • A é a área da seção transversal, em \mathrm{m}^{2}.
    • L é o comprimento do trilho, em \mathrm{m}.
  • Observação importante: a resistividade é uma propriedade do material e não depende da tensão aplicada; por isso não precisamos da diferença de potencial para calcular \rho (mas podemos usá-la apenas como verificação calculando a corrente).

Passo 3

Conversão de unidades para trabalhar no Sistema Internacional:
  • Área:
A=91{,}0\\ \mathrm{cm}^{2}=91{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2}=9{,}10\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Resistências:
R_{1}=76{,}2\\ \mu\Omega=76{,}2\times10^{-6}\\ \Omega,
R_{2}=35\\ \mu\Omega=35\times10^{-6}\\ \Omega.
  • Comprimento (já em SI):
L=42{,}6\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Cálculo da resistividade do primeiro trilho (o de resistência 76{,}2\\ \mu\Omega):
  • Aplicamos a fórmula \rho=R\frac{A}{L}.
  • Primeiro calculamos o produto R_{1}A:
R_{1}A = \bigl(76{,}2\times10^{-6}\bigr)\cdot\bigl(9{,}10\times10^{-3}\bigr).
  • Multiplicando os coeficientes:
76{,}2\cdot9{,}10=693{,}42,
então
R_{1}A = 693{,}42\times10^{-9}=6{,}9342\times10^{-7}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}^{2}.
  • Agora dividimos por L:
\rho_{1}=\frac{6{,}9342\times10^{-7}}{42{,}6}=1{,}6279\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
  • Arredondando a três algarismos significativos:
\rho_{1}\approx1{,}63\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.

Passo 5

Cálculo da resistividade do segundo trilho (o de resistência 35\\ \mu\Omega):
  • Produto R_{2}A:
R_{2}A = \bigl(35\times10^{-6}\bigr)\cdot\bigl(9{,}10\times10^{-3}\bigr).
  • Multiplicando os coeficientes:
35\cdot9{,}10=318{,}5,
então
R_{2}A = 318{,}5\times10^{-9}=3{,}185\times10^{-7}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}^{2}.
  • Dividindo por L:
\rho_{2}=\frac{3{,}185\times10^{-7}}{42{,}6}=7{,}479\times10^{-9}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
  • Arredondando a três algarismos significativos:
\rho_{2}\approx7{,}48\times10^{-9}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.

Passo 6

Verificação rápida (opcional, só pra dar confiança):
  • Resistência total em série: R_{\text{tot}}=76{,}2\\ \mu\Omega+35\\ \mu\Omega=111{,}2\\ \mu\Omega=1{,}112\times10^{-4}\\ \Omega.
  • Corrente com 630\\ \mathrm{V}: I=V/R_{\text{tot}}=630/(1{,}112\times10^{-4})\approx5{,}66\times10^{6}\\ \mathrm{A} (número muito grande, indicando que valores dados são ideais/teóricos, mas a verificação não altera as resistividades calculadas).
  • Reforço: os valores de \rho que encontramos dependem apenas de R, A e L, como mostrado.

Resposta

Trilho com R=76{,}2\\ \mu\Omega: \rho\approx1{,}63\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}
Trilho com R=35\\ \mu\Omega: \rho\approx7{,}48\times10^{-9}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}

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