Um elétron está confinado em um poço de potencial infinito unidimensional. Mostre que a diferença,
, entre as energias dos níveis quânticos
e
é
.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos (tudo que vem do enunciado):
- Pede para mostrar que a diferença entre as energias dos níveis quânticos
e de um elétron confinado em um poço de potencial infinito unidimensional é . - Dados explícitos:
- Há um elétron de massa
confinado em um poço infinito unidimensional de largura . - Os níveis de energia são rotulados por um número inteiro
(com ). -
é a constante de Planck.
- Há um elétron de massa
- O objetivo final é calcular
e mostrar que ela vale .
Passo 2
Escrever a equação de Schrödinger independente do tempo dentro do poço e explicar as variáveis.
- Dentro do poço (onde o potencial é zero) a equação de Schrödinger independente do tempo para a função de onda
é
onde:
-
é a função de onda espacial (amplitude de probabilidade), -
é a energia da solução estacionária, -
é a massa do elétron, -
é a constante de Planck reduzida, . - Esta equação é uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem. Reescrevendo, obtemos a forma padrão
com
- A solução geral dessa equação (no intervalo
) é uma combinação linear de seno e cosseno:
onde
e
são constantes a determinar pelas condições de contorno.
Passo 3
Impor as condições de contorno do poço infinito e deduzir restrições sobre
.
- No poço infinito unidimensional com paredes em
e , o potencial é infinito fora do intervalo e finito dentro, o que obriga a função de onda a ser zero nas paredes:
- Avaliando
na solução geral:
Portanto
e a função de onda dentro do poço fica
- Agora a condição
exige
Para que não tenhamos a solução trivial
(que daria função de onda nula), precisamos de
Os zeros do seno ocorrem quando
, com
inteiro.
Passo 4
Determinar os valores permitidos de
e a quantização do
.
- Da condição
obtemos
onde
deve ser um inteiro. Para obter funções de onda com nós apropriados e estados normais, tomamos
(não se aceita
porque isso daria
).
- Assim os estados permitidos estão quantizados por esse
.
Passo 5
Relacionar
com a energia
e escrever a expressão para
.
- Lembrando a relação entre
e ,
substituindo
obtemos
- Agora usar
para escrever em termos de . Calculando :
- Portanto
Aqui cada símbolo significa:
-
: energia do nível com número quântico , -
: constante de Planck, -
: massa do elétron, -
: largura do poço, -
: inteiro positivo que rotula o nível.
Passo 6
Calcular a diferença
passo a passo.
- Escrever as duas energias usando a fórmula obtida:
- Subtrair:
- Expandir o quadrado e simplificar:
- Substituindo de volta,
Passo 7
Interpretação final e recapitulação curta (motivacional).
- Chegamos exatamente à expressão pedida:
- Em palavras: a diferença entre os níveis separados por duas unidades de
cresce linearmente com através do fator , e a escala energética é fixada por . Boa! Isso é útil em provas porque a etapa chave é lembrar a forma de e fazer a álgebra simples que mostramos.