Um elétron está confinado em um poço de potencial infinito unidimensional. Mostre que a diferença, \Delta \mathrm{E}, entre as energias dos níveis quânticos n e n+2 é \left(h^{2} / 2 m L^{2}\right)(n+1).

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos (tudo que vem do enunciado):
  • Pede para mostrar que a diferença entre as energias dos níveis quânticos n e n+2 de um elétron confinado em um poço de potencial infinito unidimensional é \left(h^{2} / 2 m L^{2}\right)(n+1).
  • Dados explícitos:
    • Há um elétron de massa m confinado em um poço infinito unidimensional de largura L.
    • Os níveis de energia são rotulados por um número inteiro n (com n=1,2,3,\dots).
    • h é a constante de Planck.
  • O objetivo final é calcular \Delta \mathrm{E} = \mathrm{E}_{n+2}-\mathrm{E}_{n} e mostrar que ela vale \dfrac{h^{2}}{2mL^{2}}(n+1).

Passo 2

Escrever a equação de Schrödinger independente do tempo dentro do poço e explicar as variáveis.
  • Dentro do poço (onde o potencial é zero) a equação de Schrödinger independente do tempo para a função de onda \psi(x) é
-\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\dfrac{d^{2}\psi}{dx^{2}} = E\,\psi,
onde:
  • \psi(x) é a função de onda espacial (amplitude de probabilidade),
  • E é a energia da solução estacionária,
  • m é a massa do elétron,
  • \hbar é a constante de Planck reduzida, \hbar = \dfrac{h}{2\pi}.
  • Esta equação é uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem. Reescrevendo, obtemos a forma padrão
\dfrac{d^{2}\psi}{dx^{2}} + k^{2}\psi = 0,
com
k^{2} \equiv \dfrac{2mE}{\hbar^{2}}.
  • A solução geral dessa equação (no intervalo 0<x<L) é uma combinação linear de seno e cosseno:
\psi(x) = A\sin(kx) + B\cos(kx),
onde A e B são constantes a determinar pelas condições de contorno.

Passo 3

Impor as condições de contorno do poço infinito e deduzir restrições sobre \psi.
  • No poço infinito unidimensional com paredes em x=0 e x=L, o potencial é infinito fora do intervalo e finito dentro, o que obriga a função de onda a ser zero nas paredes:
\psi(0)=0,\qquad \psi(L)=0.
  • Avaliando \psi(0)=0 na solução geral:
\psi(0)=A\sin(0)+B\cos(0)=B=0.
Portanto B=0 e a função de onda dentro do poço fica
\psi(x)=A\sin(kx).
  • Agora a condição \psi(L)=0 exige
\psi(L)=A\sin(kL)=0.
Para que não tenhamos a solução trivial A=0 (que daria função de onda nula), precisamos de
\sin(kL)=0.
Os zeros do seno ocorrem quando kL = n\pi, com n inteiro.

Passo 4

Determinar os valores permitidos de k e a quantização do n.
  • Da condição \sin(kL)=0 obtemos
k = \dfrac{n\pi}{L},
onde n deve ser um inteiro. Para obter funções de onda com nós apropriados e estados normais, tomamos n=1,2,3,\dots (não se aceita n=0 porque isso daria \psi\equiv0).
  • Assim os estados permitidos estão quantizados por esse n.

Passo 5

Relacionar k com a energia E e escrever a expressão para \mathrm{E}_{n}.
  • Lembrando a relação entre k e E,
E = \dfrac{\hbar^{2}k^{2}}{2m},
substituindo k=\dfrac{n\pi}{L} obtemos
E_{n} = \dfrac{\hbar^{2}}{2m}\left(\dfrac{n\pi}{L}\right)^{2} = \dfrac{\hbar^{2}\pi^{2}n^{2}}{2mL^{2}}.
  • Agora usar \hbar = \dfrac{h}{2\pi} para escrever E_{n} em termos de h. Calculando \hbar^{2}\pi^{2}:
\hbar^{2}\pi^{2} = \left(\dfrac{h}{2\pi}\right)^{2}\pi^{2} = \dfrac{h^{2}}{4}.
  • Portanto
E_{n} = \dfrac{h^{2}n^{2}}{8mL^{2}}.
Aqui cada símbolo significa:
  • E_{n}: energia do nível com número quântico n,
  • h: constante de Planck,
  • m: massa do elétron,
  • L: largura do poço,
  • n: inteiro positivo que rotula o nível.

Passo 6

Calcular a diferença \Delta \mathrm{E} = \mathrm{E}_{n+2}-\mathrm{E}_{n} passo a passo.
  • Escrever as duas energias usando a fórmula obtida:
E_{n+2} = \dfrac{h^{2}(n+2)^{2}}{8mL^{2}},\qquad E_{n} = \dfrac{h^{2}n^{2}}{8mL^{2}}.
  • Subtrair:
\Delta \mathrm{E} = E_{n+2}-E_{n} = \dfrac{h^{2}}{8mL^{2}}\big[(n+2)^{2}-n^{2}\big].
  • Expandir o quadrado e simplificar:
(n+2)^{2}-n^{2} = (n^{2}+4n+4)-n^{2} = 4n+4 = 4(n+1).
  • Substituindo de volta,
\Delta \mathrm{E} = \dfrac{h^{2}}{8mL^{2}}\cdot 4(n+1) = \dfrac{h^{2}}{2mL^{2}}(n+1).

Passo 7

Interpretação final e recapitulação curta (motivacional).
  • Chegamos exatamente à expressão pedida:
\Delta \mathrm{E}=\dfrac{h^{2}}{2mL^{2}}(n+1).
  • Em palavras: a diferença entre os níveis separados por duas unidades de n cresce linearmente com n através do fator (n+1), e a escala energética é fixada por \dfrac{h^{2}}{2mL^{2}}. Boa! Isso é útil em provas porque a etapa chave é lembrar a forma de E_{n} e fazer a álgebra simples que mostramos.

Resposta

\displaystyle \Delta \mathrm{E}=\dfrac{h^{2}}{2mL^{2}}(n+1)

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