10- Um elétron no estado
do poço de potencial finito absorve uma energia de 400 eV de uma fonte externa. Qual é a energia cinética do elétron após esta absorção, supondo que o elétron seja transferido para uma posição onde
? Lembre-se que
(energia cinética). Dados
e
.
Passo 1
Vou listar o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes dados do enunciado).
- Um elétron está no estado fundamental
de um poço de potencial finito. - O elétron absorve uma energia de
de uma fonte externa; ou seja, . - A profundidade do poço é
. - O comprimento do poço é
. - O enunciado lembra a relação para a energia cinética do elétron quando ele é transferido para uma região onde
:
onde
é a energia cinética fora do poço e
é a energia do estado ligado
.
O que se pede: calcular
(energia cinética do elétron após absorver os
e ser levado para
).
Passo 2
Entendendo fisicamente e a fórmula fornecida (aula curta):
- Em um poço finito costuma-se definir o potencial como
dentro do poço ( ) e fora ( e ). - Um estado ligado tem energia
. A energia total do elétron depois de absorver o fóton é . - Ao passar para a região
, a energia potencial do elétron é ; assim a energia cinética na região externa é
que é exatamente a relação dada. Aqui:
-
é a energia fornecida pelo fóton (aqui ), -
é a energia potencial fora do poço ( ), -
é a energia do nível ligado dentro do poço.
Passo 3
Precisamos de
. Resolver o poço finito exato exige equações transcendentais (mais trabalhoso). Como método mais simples e apropriado (e recomendado quando
é muito maior que a energia do nível), aproximamos o poço finito por um poço infinito de mesma largura
. Para um poço infinito de largura
as energias são
Explicando cada símbolo:
-
é a constante de Planck reduzida (em J·s), -
é a massa do elétron (em kg), -
é a largura do poço (em m), -
é o número quântico (aqui ).
Justificação da aproximação: sefor muito maior que , os níveis do poço finito ficam próximos dos níveis do poço infinito. Vamos checar depois se isso é consistente.
Passo 4
Calcular
pela fórmula do poço infinito com
. Vou usar constantes conhecidas:
A fórmula para
é
Calculemos numericamente passo a passo (em joules):
Agora convertemos para elétron-volts usando
:
Passo 5
Agora usamos a relação para a energia cinética fora do poço:
Substituindo
,
e
:
Passo 6
Verificação da validade da aproximação e interpretação física:
- Obtivemos
, que é bem menor que . Isso confirma que a aproximação do poço infinito é razoável: o nível ligado não é muito afetado pela finitude do poço, portanto o valor calculado tem boa precisão qualitativa e razoável precisão quantitativa. - Fisicamente, a energia do fóton foi exatamente igual à profundidade do poço, portanto o ganho líquido de energia cinética ao sair para
é apenas o valor do nível ligado : o elétron fica livre com essa energia cinética positiva.