10- Um elétron no estado n=1 do poço de potencial finito absorve uma energia de 400 eV de uma fonte externa. Qual é a energia cinética do elétron após esta absorção, supondo que o elétron seja transferido para uma posição onde x>L ? Lembre-se que h f-U_{0}+E_{1}=\Delta E (energia cinética). Dados \mathrm{U}_{0}=400 \mathrm{eV} e \mathrm{L}=100 \mathrm{pm}.

Passo 1

Vou listar o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes dados do enunciado).
  • Um elétron está no estado fundamental n=1 de um poço de potencial finito.
  • O elétron absorve uma energia de 400\\ \text{eV} de uma fonte externa; ou seja, h f = 400\\ \text{eV}.
  • A profundidade do poço é \,U_{0}=400\\ \text{eV}\,.
  • O comprimento do poço é \,L=100\\ \text{pm}=100\times10^{-12}\\ \text{m}=1\times10^{-10}\\ \text{m}.
  • O enunciado lembra a relação para a energia cinética do elétron quando ele é transferido para uma região onde x>L:
h f - U_{0} + E_{1} = \Delta E,
onde \Delta E é a energia cinética fora do poço e E_{1} é a energia do estado ligado n=1.
O que se pede: calcular \Delta E (energia cinética do elétron após absorver os 400\\ \text{eV} e ser levado para x>L).

Passo 2

Entendendo fisicamente e a fórmula fornecida (aula curta):
  • Em um poço finito costuma-se definir o potencial como V(x)=0 dentro do poço ( 0<x<L) e V(x)=U_{0} fora ( x<0 e x>L).
  • Um estado ligado tem energia E_{1}<U_{0}. A energia total do elétron depois de absorver o fóton é E_{\text{total}}=E_{1}+h f.
  • Ao passar para a região x>L, a energia potencial do elétron é U_{0}; assim a energia cinética na região externa é
\Delta E = E_{\text{total}}-U_{0}=E_{1}+h f - U_{0},
que é exatamente a relação dada. Aqui:
  • h f é a energia fornecida pelo fóton (aqui 400\\ \text{eV}),
  • U_{0} é a energia potencial fora do poço ( 400\\ \text{eV}),
  • E_{1} é a energia do nível ligado dentro do poço.

Passo 3

Precisamos de E_{1}. Resolver o poço finito exato exige equações transcendentais (mais trabalhoso). Como método mais simples e apropriado (e recomendado quando U_{0} é muito maior que a energia do nível), aproximamos o poço finito por um poço infinito de mesma largura L. Para um poço infinito de largura L as energias são
E_{n}=\frac{\hbar^{2}\pi^{2}n^{2}}{2mL^{2}}.
Explicando cada símbolo:
  • \hbar é a constante de Planck reduzida (em J·s),
  • m é a massa do elétron (em kg),
  • L é a largura do poço (em m),
  • n é o número quântico (aqui n=1).
    Justificação da aproximação: se U_{0} for muito maior que E_{1}, os níveis do poço finito ficam próximos dos níveis do poço infinito. Vamos checar depois se isso é consistente.

Passo 4

Calcular E_{1} pela fórmula do poço infinito com n=1. Vou usar constantes conhecidas:
\hbar = 1{,}0545718\times10^{-34}\\ \text{J}\cdot\text{s}, \qquad m = 9{,}10938356\times10^{-31}\\ \text{kg}, \qquad L = 1\times10^{-10}\\ \text{m}.
A fórmula para E_{1} é
E_{1}=\frac{\hbar^{2}\pi^{2}}{2mL^{2}}.
Calculemos numericamente passo a passo (em joules):
\hbar^{2}\pi^{2}=(1{,}0545718\times10^{-34})^{2}\pi^{2}\approx 1{,}0976\times10^{-67}\\ \text{J}^{2}\!\cdot\!\text{s}^{2}.
2mL^{2}=2\cdot(9{,}10938356\times10^{-31})\cdot(1\times10^{-10})^{2}=1{,}8219\times10^{-50}\\ \text{kg}\cdot\text{m}^{2}.
E_{1}\approx\frac{1{,}0976\times10^{-67}}{1{,}8219\times10^{-50}} \approx 6{,}026\times10^{-18}\\ \text{J}.
Agora convertemos para elétron-volts usando 1\\ \text{eV}=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \text{J}:
E_{1}\approx\frac{6{,}026\times10^{-18}}{1{,}602176634\times10^{-19}}\\ \text{eV}\approx 37{,}6\\ \text{eV}.

Passo 5

Agora usamos a relação para a energia cinética fora do poço:
\Delta E = h f - U_{0} + E_{1}.
Substituindo h f=400\\ \text{eV}, U_{0}=400\\ \text{eV} e E_{1}\approx 37{,}6\\ \text{eV}:
\Delta E = 400\\ \text{eV} - 400\\ \text{eV} + 37{,}6\\ \text{eV} = 37{,}6\\ \text{eV}.

Passo 6

Verificação da validade da aproximação e interpretação física:
  • Obtivemos E_{1}\approx 37{,}6\\ \text{eV}, que é bem menor que U_{0}=400\\ \text{eV}. Isso confirma que a aproximação do poço infinito é razoável: o nível ligado não é muito afetado pela finitude do poço, portanto o valor calculado tem boa precisão qualitativa e razoável precisão quantitativa.
  • Fisicamente, a energia do fóton foi exatamente igual à profundidade do poço, portanto o ganho líquido de energia cinética ao sair para x>L é apenas o valor do nível ligado E_{1}: o elétron fica livre com essa energia cinética positiva.

Resposta

\Delta E \approx 37{,}6\\ \text{eV}

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