Um elétron está confinado num potencial V(x)= (1 / 2) k x^2, onde k é uma constante, e está sujeito para um campo elétrico epsilon ao longo do eixo x. Encontrar os autovalores de energia.
26. Um elétron é confinado no estado fundamental de um oscilador harmônico simples, de forma que De<a x=xo m. Asumindo que <T>=<V>, com T e V sendo as energias cinética e potencial, encontrar usando os dados anteriores:
(a) a frequência do oscilador, (b) a energia requerida para poder excitar o elétron para o primeiro estado excitado.

Passo 1

O enunciado 1 nos dá um elétron sujeito ao potencial harmônico
V(x)=tfrac12,k,x^2
e a um campo elétrico uniforme epsilon ao longo de x.
Para achar os autovalores de energia, vamos usar o truque de completar o quadrado na Hamiltoniana do oscilador harmônico perturbado por uma força linear.

Passo 2

A Hamiltoniana é
H ;=;p^22m ;+;12,k,x^2 ;-;e,epsilon,x
Escrevendo tfrac12,k,x^2 - eepsilon x = tfrac12,kl(x - xrm eqr)^2 - tfrac12,k,xrm eq^2,
onde
xrm eq = e,epsilonk
Logo
H = p^22m + 12,kl(x - xrm eqr)^2 ;-;12,k,xrm eq^2
Isso é um oscilador harmônico deslocado de frequência
omega = raizkm,
mais um termo constante -tfrac12,k,xrm eq^2.

Passo 3

Os autovalores de energia ficam, portanto,
En = hbar,omegal(n+tfrac12r);-;12,k,xrm eq^2 ;=; hbar,omegal(n+tfrac12r);-;(e,epsilon)^22,k,
com n=0,1,2,dots.

Passo 4

O enunciado 2 diz que o elétron está no estado fundamental de um oscilador harmônico simples, com incerteza em posição
De<a x = x0. Assumindo lang<= Trang<= = lang<= Vrang<=, sabemos que no estado fundamental
De<a x = raizhbar2,m,omega = x0
A partir disso resolvemos para omega.

Passo 5

Da relação acima,
x0^2 = hbar2,m,omega Longrightarrow omega = hbar2,m,x0^2
Isso responde o item (a).

Passo 6

Para excitar ao primeiro estado, a diferença de energia é
De<a E = E1 - E0 = hbar,omega
Substituindo omega achada,
De<a E = hbar,hbar2,m,x0^2 = hbar^22,m,x0^2
Isso responde o item (b).

Resposta

Para o oscilador com campo elétrico:
En = hbar,omegal(n+tfrac12r);-;(e,epsilon)^22,k, omega=raizkm
(a) omega = hbar2,m,x0^2
(b) De<a E = hbar^22,m,x0^2

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