Mostre como o campo elétrico E dentro de um capacitor de placas paralelas é afetado pela presença de um dielétrico com constante dielétrica kappa. Use as equações de Gauss para derivar a relação entre o campo elétrico com e sem o dielétrico.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos como o campo elétrico dentro de um capacitor de placas paralelas muda quando inserimos um dielétrico de constante dielétrica kappa.
O conteúdo principal aqui é a Lei de Gauss em meios dielétricos, com ênfase em:
  • Lei de Gauss no vácuo: oint Ecdot dA = Qlivrevarepsilon0.
  • Definição do vetor deslocamento D: D = varepsilon0E + P.
  • Para dielétrico linear isotrópico: D = varepsilon,E com varepsilon = kappa,varepsilon0.
    Vamos usar essas ideias para comparar o campo sem e com dielétrico.

Passo 2

Campo no vácuo (sem dielétrico).
Considere placas grandes e paralelas com densidade de carga superficial sigma. Escolhemos uma superfície gaussiana em forma de paralelepípedo atravessando as placas. Como o campo é uniforme e perpendicular às placas, a lei de Gauss dá
oint E0cdot dA = E0,A = Qlivrevarepsilon0 = sigma Avarepsilon0
Logo,
E0 = sigmavarepsilon0

Passo 3

Campo com dielétrico inserido.
Dentro do dielétrico, em equilíbrio, surgem cargas ligadas que criam polarização P. Em vez de usar diretamente E, aplicamos a forma da Lei de Gauss para D:
oint Dcdot dA = Qlivre
Novamente a mesma superfície gaussiana atravessa as placas, e como D é uniforme,
D,A = sigma A Longrightarrow D = sigma
Para dielétrico linear temos D = varepsilon,E com varepsilon = kappa,varepsilon0. Assim
varepsilon,E = sigma Longrightarrow E = sigmavarepsilon = sigmakappa,varepsilon0

Passo 4

Relação entre os dois campos.
Comparando
E0 = sigmavarepsilon0, E = sigmakappa,varepsilon0,
vemos que
E = 1kappa,E0
Ou seja, o dielétrico reduz o campo interno em um fator igual à sua constante dielétrica.

Resposta

boxedEcom dielétrico = Esem dielétricokappa éé

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