Demonstre que a capacitância de um capacitor cilíndrico formado por dois cilindros concêntricos com raios r1 e r2 e comprimento L , preenchido por vácuo, é dada por: C=(2^* pi^* varepsilon0 ^* L) / ln (r2 / r1).
Comece aplicando a lei de Gauss para calcular o campo elétrico entre os cilindros e integre
para encontrar a diferença de potencial.

Passo 1

O enunciado pede a capacitância de um capacitor cilíndrico coaxial, formado por dois cilindros concêntricos de raios r1 (interno) e r2 (externo) e comprimento L, em vácuo. O conteúdo principal é usar a lei de Gauss para achar o campo elétrico E(r) na região entre os cilindros e depois integrar E para obter a diferença de potencial De<a V. Por fim, aplica-se a definição de capacitância
C = QDe<a V,

Passo 2

Escolhemos como superfície gaussiana um cilindro coaxial de raio genérico r, com r1<r<r2, e comprimento L. Como o sistema é axialmente simétrico e longo, o campo elétrico é radial e tem mesma magnitude em todo o cilindro. Pela lei de Gauss:
oint Ecdot dA ;=;Qintvarepsilon0,
Aqui Qint=Q é a carga no cilindro interno e a área da superfície gaussiana é 2pi rL. Logo,
E(r),2pi rL ;=;Qvarepsilon0 Longrightarrow E(r)=Q2pivarepsilon0L,r,

Passo 3

A diferença de potencial entre os condutores é
De<a V = V(r1)-V(r2) = -integralr1^r2Ecdot dr = -integralr1^r2Q2pivarepsilon0L,r,dr
Como o sinal do deslocamento radial é positivo no mesmo sentido de E, temos
De<a V = Q2pivarepsilon0Lintegralr1^r21r,dr = Q2pivarepsilon0L,ln!gl(r2r1gr)

Passo 4

Pela definição de capacitância C = Q/De<a V, substituímos De<a V:
C = QQ2pivarepsilon0L,ln!l(tfracr2r1r) = 2pivarepsilon0Lln!l(tfracr2r1r)

Resposta

C = 2pivarepsilon0Lln!l(tfracr2r1r)

Exercícios relacionados