Demonstre que a capacitância de um capacitor cilíndrico formado por dois cilindros concêntricos com raios
e
e comprimento L , preenchido por vácuo, é dada por:
.
Comece aplicando a lei de Gauss para calcular o campo elétrico entre os cilindros e integre
para encontrar a diferença de potencial.
Comece aplicando a lei de Gauss para calcular o campo elétrico entre os cilindros e integre
para encontrar a diferença de potencial.
Passo 1
O enunciado pede a capacitância de um capacitor cilíndrico coaxial, formado por dois cilindros concêntricos de raios
(interno) e
(externo) e comprimento
, em vácuo. O conteúdo principal é usar a lei de Gauss para achar o campo elétrico
na região entre os cilindros e depois integrar
para obter a diferença de potencial
. Por fim, aplica-se a definição de capacitância
Passo 2
Escolhemos como superfície gaussiana um cilindro coaxial de raio genérico
, com
, e comprimento
. Como o sistema é axialmente simétrico e longo, o campo elétrico é radial e tem mesma magnitude em todo o cilindro. Pela lei de Gauss:
Aqui
é a carga no cilindro interno e a área da superfície gaussiana é
. Logo,
Passo 3
A diferença de potencial entre os condutores é
Como o sinal do deslocamento radial é positivo no mesmo sentido de
, temos
Passo 4
Pela definição de capacitância
, substituímos
: