Um mol de Gás Perfeito, monoatômico, inicialmente ocupou o volume de
e esteve sob pressão de
. A seguir, sua pressão foi aumentada até
a volume constante e ele expandiu se isotermicamente até ocupar o volume de
e estar sob pressão de
. Finalmente, este gás foi comprimido e retornou ao estado inicial. (d)determine a eficiência térmica deste ciclo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um ciclo de um mol de gás perfeito monoatômico que passa por três processos diferentes: aumento de pressão a volume constante, expansão isotérmica e compressão de volta ao estado inicial. Precisamos determinar a eficiência térmica desse ciclo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, como as leis dos gases ideais, trabalho em processos termodinâmicos e a definição de eficiência térmica.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os três estados do gás no ciclo:
- Estado 1: Volume
, Pressão - Estado 2: Após aumento de pressão a volume constante, Pressão
, Volume - Estado 3: Após expansão isotérmica, Volume
, Pressão
Passo 3
Vamos calcular a temperatura em cada estado usando a equação dos gases ideais:
Onde:
-
é a pressão -
é o volume -
-
-
é a temperatura
Para o Estado 1:
Passo 4
No Estado 2, como o volume é constante, a temperatura muda proporcionalmente com a pressão:
Passo 5
Durante o processo isotérmico (Estado 2 para Estado 3), a temperatura permanece constante (
). O trabalho realizado nessa expansão pode ser calculado pela fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 6
Para determinar a eficiência térmica, precisamos calcular o calor fornecido e o trabalho total realizado no ciclo. A eficiência térmica (
) é dada por:
Onde:
-
é o trabalho líquido realizado pelo gás -
é o calor absorvido pelo gás
Durante o processo isotérmico, o gás absorve calor igual ao trabalho realizado:
No processo a volume constante, o calor fornecido é dado por:
Para um gás monoatômico,
:
Passo 7
Agora, somamos os calores fornecidos:
O trabalho líquido realizado no ciclo é igual ao trabalho realizado na expansão isotérmica, já que na compressão o trabalho é negativo e igual a
:
Entretanto, isso indica que o trabalho líquido é zero, o que sugere que a eficiência térmica também seria zero. Contudo, isso não faz sentido físico para um ciclo. Vamos revisar os cálculos.
Voltando ao processo a volume constante, o trabalho não é realizado, pois o volume não muda (
). Portanto, o único trabalho realizado é na expansão isotérmica:
A eficiência térmica então é:
Resposta
A eficiência térmica do ciclo é de aproximadamente 31,3%.