Um Elétron com energia cinética 5,00 eV incide sobre uma barrira de potencial quadrada de 10,00 eV com espessura de 1 nm . Calcule o percentual de transmissão através da barreira. Se a energia do elétron for de 8,00 eV como o percentual de transmissão será afetado ?

Passo 1

O enunciado descreve um elétron de massa m e energia cinética E incidindo numa barreira de potencial quadrada de altura V0 e largura a. O conteúdo da matéria é tunelamento quântico: quando E<V0, a função de onda decai exponencialmente dentro da barreira, e a probabilidade de transmissão é dada por uma fórmula analítica que envolve
kappa = raiz2m,(V0 - E)hbar^2
e
T = 11 + dfracV0^24E,(V0 - E),sinh^2(kappa,a)
Para resolver, vamos converter energias de eV para joule, usar m=9,11times10^-31,kg, hbar=1,055times10^-34,J,s e a=1,nm=1times10^-9,m.

Passo 2

Escrevemos as expressões necessárias:
kappa = raiz2m,(V0 - E)hbar^2, T = 11 + dfracV0^24E,(V0 - E),sinh^2(kappa,a)
Aqui E e V0 devem estar em joule na fórmula de kappa, mas podemos manter o fator adimensional V0^2/[4E(V0-E)] em eV porque a razão é sem dimensão.

Passo 3

Caso E=5,00,eV:
  1. Convertemos V0-E=10,00-5,00=5,00,eV para joule: 5,00times1,602times10^-19=8,01times10^-19,J.
  2. Calculamos
kappa = raiz2,(9,11times10^-31)(8,01times10^-19)(1,055times10^-34)^2 approx1,15times10^10,m^-1,
então kappa aapprox11,45.
3. Como sinh(11,45)approx4,67times10^4, tem-se sinh^2(11,45)approx2,18times10^9.
4. O coeficiente adimensional é
V0^24E(V0-E) =(10)^24cdot5cdot5=1,
logo
T = 11 + 1cdot2,18times10^9 approx4,59times10^-10,
e o percentual de transmissão é
T%approx4,59times10^-8%

Passo 4

Caso E=8,00,eV:
  1. Agora V0-E=2,00,eVto2,00times1,602times10^-19=3,204times10^-19,J.
kappa = raiz2,(9,11times10^-31)(3,204times10^-19)(1,055times10^-34)^2 approx7,24times10^9,m^-1,
logo kappa aapprox7,24.
3. Como sinh(7,24)approx7,00times10^2, tem-se sinh^2(7,24)approx4,90times10^5.
4. O fator adimensional
V0^24E(V0-E) =1004cdot8cdot2=1,5625,
e
T = 11 + 1,5625cdot4,90times10^5 approx1,30times10^-6,
portanto
T%approx1,30times10^-4%

Passo 5

Comparando os dois casos, ao aumentar a energia de 5,00,eV para 8,00,eV (ainda abaixo de V0=10,eV), a largura efetiva do decaimento diminui ( kappa menor), o que aumenta o percentual de transmissão em cerca de 10^3 vezes, mas o valor continua pequeno.

Resposta

Para E=5,00,eV: T%approx4,6times10^-8%.
Para E=8,00,eV: T%approx1,3times10^-4%.

Exercícios relacionados