7 Um elétron está no estado de spin
\chi=A\binom{1-2 i}{2}
(a) Determine a constante A normalizando \chi.
(b) Se você medir S_{z} nesse elétron, quais valores você poderia obter e quais seriam as probabilidades de cada um? Qual é o valor esperado de S_{z} ?
(c) Se você medir S_{y} nesse elétron, quais valores você poderia obter c quais seriam as probabilidades de cada um? Qual é o valor esperado de S_{y} ?
(d)Se você medir S_{x} nesse elétron, quais valores você poderia obter c quais seriam as probabilidades de cada um? Qual é o valor esperado de S_{x} ?

Passo 1

O enunciado dá o spinor do elétron
\chi = A\begin{pmatrix}1-2i\\[4pt]2\end{pmatrix}.
As perguntas são:
  • (a) determinar a constante de normalização A;
  • (b) medir S_z: quais valores possíveis, probabilidades e valor esperado \langle S_z\rangle;
  • (c) medir S_y: quais valores possíveis, probabilidades e valor esperado \langle S_y\rangle;
  • (d) medir S_x: quais valores possíveis, probabilidades e valor esperado \langle S_x\rangle.
Informações relevantes dadas:
  • O vetor escrito é no espaço de spin-1/2, no qual a base padrão (autovetores de S_z) é
\left|+\_z\right\rangle = \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad \left|-\_z\right\rangle = \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
  • Para spin- 1/2, os possíveis resultados de medir qualquer componente S_i são \pm\hbar/2.
  • Vou normalizar o spinor (achar A), depois projetá-lo nas bases próprias de S_z,S_y,S_x para obter probabilidades e calcular expectativas.]

Passo 2

Normalização do spinor (item (a)) — teoria rápida: um estado quântico deve satisfazer \langle\chi|\chi\rangle=1. Se \chi=A\begin{pmatrix}c_1\\[4pt]c_2\end{pmatrix} então
\langle\chi|\chi\rangle = |A|^2\big(|c_1|^2+|c_2|^2\big)=1,
onde |c|^2 é o módulo ao quadrado de número complexo c. Aqui c_1=1-2i e c_2=2.
Calculo dos módulos ao quadrado:
|1-2i|^2 = 1^2 + (-2)^2 = 1+4=5, \qquad |2|^2 = 4.
Logo
\langle\chi|\chi\rangle = |A|^2(5+4)=9|A|^2.
Impondo normalização,
9|A|^2=1 \quad\Rightarrow\quad |A|=\frac{1}{3}.
Podemos escolher a fase global convenientemente; escolho A=\dfrac{1}{3} (real e positiva). Assim
\chi = \frac{1}{3}\begin{pmatrix}1-2i\\[4pt]2\end{pmatrix}.]

Passo 3

Medição de S_z (item (b)) — ideia: na base própria de S_z as amplitudes são simplesmente as componentes do spinor. Probabilidade de obter \pm\hbar/2 é o módulo ao quadrado da amplitude correspondente.
O estado normalizado é
\chi=\begin{pmatrix}\dfrac{1-2i}{3}\\[6pt]\dfrac{2}{3}\end{pmatrix}.
Amplitude para \left|+\_z\right\rangle é a_{+z}=\dfrac{1-2i}{3}, para \left|-\_z\right\rangle é a_{-z}=\dfrac{2}{3}.
Probabilidades:
P\big(+\hbar/2\big)=|a_{+z}|^2=\frac{|1-2i|^2}{9}=\frac{5}{9}, \qquad P\big(-\hbar/2\big)=|a_{-z}|^2=\frac{|2|^2}{9}=\frac{4}{9}.
Verificação rápida: 5/9+4/9=1.
Valor esperado — duas formas equivalentes; uso a forma com probabilidades:
\langle S_z\rangle = P(+\hbar/2)\cdot\frac{\hbar}{2} + P(-\hbar/2)\cdot\left(-\frac{\hbar}{2}\right) = \left(\frac{5}{9}-\frac{4}{9}\right)\frac{\hbar}{2} = \frac{1}{9}\cdot\frac{\hbar}{2} = \frac{\hbar}{18}.]

Passo 4

Medição de S_y (item (c)) — teoria e base própria: os operadores S_i são \displaystyle S_i=\frac{\hbar}{2}\sigma_i, onde \sigma_i são as matrizes de Pauli. Para \sigma_y os autovetores normalizados (autovalores \pm1) são
\left|+\_y\right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]i\end{pmatrix}, \qquad \left|-\_y\right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-i\end{pmatrix},
correspondendo a valores \pm\hbar/2 de S_y.
Para encontrar probabilidades, calculo as projeções \langle \pm\_y|\chi\rangle. Lembrando que o bra é o conjugado transposto do ket:
\langle +\_y| = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,\,-i),\qquad \langle -\_y| = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,\,+i).
Calculemos a_{+y}=\langle +\_y|\chi\rangle:
a_{+y}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(1\cdot\frac{1-2i}{3} + (-i)\cdot\frac{2}{3}\right) =\frac{1}{3\sqrt{2}}\big(1-2i-2i\big)=\frac{1}{3\sqrt{2}}(1-4i).
Módulo ao quadrado:
P\big(+\hbar/2\big)=|a_{+y}|^2=\frac{1}{9\cdot 2}|1-4i|^2=\frac{1}{18}(1+16)=\frac{17}{18}.
Agora a_{-y}=\langle -\_y|\chi\rangle:
a_{-y}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(1\cdot\frac{1-2i}{3} + i\cdot\frac{2}{3}\right) =\frac{1}{3\sqrt{2}}\big(1-2i+2i\big)=\frac{1}{3\sqrt{2}}(1).
Módulo ao quadrado:
P\big(-\hbar/2\big)=|a_{-y}|^2=\frac{1}{9\cdot 2}\cdot 1=\frac{1}{18}.
Verificação: \dfrac{17}{18}+\dfrac{1}{18}=1.
Valor esperado:
\langle S_y\rangle = \left(\frac{17}{18}-\frac{1}{18}\right)\frac{\hbar}{2} = \frac{16}{18}\cdot\frac{\hbar}{2} = \frac{8}{9}\cdot\frac{\hbar}{2} = \frac{4\hbar}{9}.]

Passo 5

Medição de S_x (item (d)) — base própria e cálculo: autovetores de \sigma_x são
\left|+\_x\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}, \qquad \left|-\_x\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix},
com autovalores \pm1 e, portanto, S_x mede \pm\hbar/2.
Projete \chi nessa base. Bra correspondentes:
\langle +\_x|=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,\,1),\qquad \langle -\_x|=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,\,-1).
Cálculo de a_{+x}=\langle +\_x|\chi\rangle:
a_{+x}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(1\cdot\frac{1-2i}{3} + 1\cdot\frac{2}{3}\right) =\frac{1}{3\sqrt{2}}\big(1-2i+2\big)=\frac{1}{3\sqrt{2}}(3-2i).
Módulo ao quadrado:
P\big(+\hbar/2\big)=|a_{+x}|^2=\frac{1}{9\cdot 2}|3-2i|^2 =\frac{1}{18}(9+4)=\frac{13}{18}.
Cálculo de a_{-x}=\langle -\_x|\chi\rangle:
a_{-x}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(1\cdot\frac{1-2i}{3} + (-1)\cdot\frac{2}{3}\right) =\frac{1}{3\sqrt{2}}\big(1-2i-2\big)=\frac{1}{3\sqrt{2}}(-1-2i).
Módulo ao quadrado:
P\big(-\hbar/2\big)=|a_{-x}|^2=\frac{1}{9\cdot 2}|-1-2i|^2 =\frac{1}{18}(1+4)=\frac{5}{18}.
Verificação: \dfrac{13}{18}+\dfrac{5}{18}=1.
Valor esperado:
\langle S_x\rangle = \left(\frac{13}{18}-\frac{5}{18}\right)\frac{\hbar}{2} = \frac{8}{18}\cdot\frac{\hbar}{2} = \frac{4}{9}\cdot\frac{\hbar}{2} = \frac{2\hbar}{9}.]

Resposta

(a) A=\dfrac{1}{3}
(b) Valores: \pm\hbar/2
P(+\hbar/2)=\dfrac{5}{9}
P(-\hbar/2)=\dfrac{4}{9}
\langle S_z\rangle = \dfrac{\hbar}{18}
(c) Valores: \pm\hbar/2
P(+\hbar/2)=\dfrac{17}{18}
P(-\hbar/2)=\dfrac{1}{18}
\langle S_y\rangle = \dfrac{4\hbar}{9}
(d) Valores: \pm\hbar/2
P(+\hbar/2)=\dfrac{13}{18}
P(-\hbar/2)=\dfrac{5}{18}
\langle S_x\rangle = \dfrac{2\hbar}{9}

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