(a) Determine a constante A normalizando \chi.
(b) Se você medir S_{z} nesse elétron, quais valores você poderia obter e quais seriam as probabilidades de cada um? Qual é o valor esperado de S_{z} ?
(c) Se você medir S_{y} nesse elétron, quais valores você poderia obter c quais seriam as probabilidades de cada um? Qual é o valor esperado de S_{y} ?
(d)Se você medir S_{x} nesse elétron, quais valores você poderia obter c quais seriam as probabilidades de cada um? Qual é o valor esperado de S_{x} ?
Passo 1
O enunciado dá o spinor do elétron
\chi = A\begin{pmatrix}1-2i\\[4pt]2\end{pmatrix}.
As perguntas são:
(a) determinar a constante de normalização A;
(b) medir S_z: quais valores possíveis, probabilidades e valor esperado \langle S_z\rangle;
(c) medir S_y: quais valores possíveis, probabilidades e valor esperado \langle S_y\rangle;
(d) medir S_x: quais valores possíveis, probabilidades e valor esperado \langle S_x\rangle.
Informações relevantes dadas:
O vetor escrito é no espaço de spin-1/2, no qual a base padrão (autovetores de S_z) é
Para spin-1/2, os possíveis resultados de medir qualquer componente S_i são \pm\hbar/2.
Vou normalizar o spinor (achar A), depois projetá-lo nas bases próprias de S_z,S_y,S_x para obter probabilidades e calcular expectativas.]
Passo 2
Normalização do spinor (item (a)) — teoria rápida: um estado quântico deve satisfazer \langle\chi|\chi\rangle=1. Se \chi=A\begin{pmatrix}c_1\\[4pt]c_2\end{pmatrix} então
Medição de S_z (item (b)) — ideia: na base própria de S_z as amplitudes são simplesmente as componentes do spinor. Probabilidade de obter \pm\hbar/2 é o módulo ao quadrado da amplitude correspondente.
Medição de S_y (item (c)) — teoria e base própria: os operadores S_i são \displaystyle S_i=\frac{\hbar}{2}\sigma_i, onde \sigma_i são as matrizes de Pauli. Para \sigma_y os autovetores normalizados (autovalores \pm1) são