5 (a) Calcule os autovalores e autospinores de S_{y}.
(b) Se você mediu S_{y} em uma partícula no estado geral \chi (Equação 1.139), quais valores você poderá obter e qual é a probabilidade para cada um? Verifique gue as probabilidades somadas são igual a 1 .
Nota: a e b não precisam ser reais!
(c) Se você mediu S_{y}^{2} quais valores você deve obter e com quais probabilidades?

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) Calcular os autovalores e autospinores de S_{y}.
  • (b) Para um estado geral \chi (Equação 1.139), dizer quais valores de S_{y} podem ser obtidos e calcular a probabilidade de cada um; verificar que as probabilidades somam 1. Nota: a e b não precisam ser reais.
  • (c) Se medirmos S_{y}^{2}, quais valores saem e com que probabilidades.
Informações dadas que vou usar (peguei implicitamente da referência usual para um spin-1/2):
  • O operador S_{y} para spin 1/2 é
S_{y}=\frac{\hbar}{2}\sigma_{y},
onde
\sigma_{y}=\begin{pmatrix}0 & -i\\[4pt] i & 0\end{pmatrix}.
  • O estado geral \chi citado (Equação 1.139) será tratado como o spinor
\chi=\begin{pmatrix}a\\[4pt] b\end{pmatrix},
com a,b\in\mathbb{C}. Normalmente assume-se |a|^{2}+|b|^{2}=1 (estado normalizado); usarei isso ao verificar a soma das probabilidades.]

Passo 2

Encontrar os autovalores de S_{y}.
Explicação curta do método: para encontrar autovalores resolvemos a equação característica \det(S_{y}-\lambda I)=0. Como S_{y}=(\hbar/2)\sigma_{y}, é suficiente achar os autovalores de \sigma_{y} (eles serão multiplicados por \hbar/2).
Calcule a característica de \sigma_{y}:
\det\!\begin{pmatrix}-\lambda' & -i\\[4pt] i & -\lambda'\end{pmatrix}=0
onde \lambda' é o autovalor de \sigma_{y}. O determinante é
\lambda'^{2}-1=0\quad\Rightarrow\quad \lambda'=\pm 1.
Portanto os autovalores de S_{y} são
\lambda=\frac{\hbar}{2}\lambda'=\pm\frac{\hbar}{2}.]

Passo 3

Achar os autospinores (autovetores normalizados) de S_{y}.
Resolvendo \sigma_{y}v=\lambda' v:
Para \lambda'=+1 a equação é
\begin{pmatrix}0 & -i\\[4pt] i & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_{1}\\[4pt] v_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}v_{1}\\[4pt] v_{2}\end{pmatrix},
que dá os sistemas -i v_{2}=v_{1} e i v_{1}=v_{2} (as duas são equivalentes). Escolhendo v_{2}=1 obtemos v_{1}=-i. Um autovetor é \begin{pmatrix}-i\\[4pt] 1\end{pmatrix}; multiplicando por uma fase global conveniente (isso não altera o estado físico) podemos escrever o autospinor normalizado como
\left|{+y}\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt] i\end{pmatrix}.
Verificação de normalização:
\left\|\left|{+y}\right\rangle\right\|^{2}=\frac{1}{2}\bigl(|1|^{2}+|i|^{2}\bigr)=\frac{1}{2}(1+1)=1.
Para \lambda'=-1 a equação \sigma_{y}v=-v leva a -i v_{2}=-v_{1} ou v_{1}=i v_{2}. Escolhendo v_{2}=1 temos v_{1}=i. Tomando fase conveniente, o autospinor normalizado é
\left|-y\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt] -i\end{pmatrix},
com \left\|\left|-y\right\rangle\right\|^{2}=1.
Resumo (importante de decorar para prova):
  • Autovalor \;+\dfrac{\hbar}{2}\; tem autospinor \;\left|{+y}\right\rangle=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt] i\end{pmatrix}.
  • Autovalor \;-\dfrac{\hbar}{2}\; tem autospinor \;\left|-y\right\rangle=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt] -i\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular as probabilidades de medir S_{y}=\pm\hbar/2 para o estado geral \chi=\begin{pmatrix}a\\[4pt] b\end{pmatrix}.
Lembrando a regra de Born: a probabilidade de obter um autovalor correspondente ao autovetor \left|\varphi\right\rangle é |\langle\varphi|\chi\rangle|^{2}.
Compute a amplitude para +\hbar/2:
\langle +y|\chi\rangle =\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & -i\end{pmatrix}\right)\begin{pmatrix}a\\[4pt] b\end{pmatrix} =\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(a - i b\bigr).
Assim a probabilidade de obter \;+\dfrac{\hbar}{2}\; é
P_{+}=\bigl|\langle +y|\chi\rangle\bigr|^{2} =\frac{1}{2}\bigl|a - i b\bigr|^{2}.
Compute a amplitude para -\hbar/2:
\langle -y|\chi\rangle =\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & i\end{pmatrix}\right)\begin{pmatrix}a\\[4pt] b\end{pmatrix} =\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(a + i b\bigr).
Assim a probabilidade de obter \;-\dfrac{\hbar}{2}\; é
P_{-}=\bigl|\langle -y|\chi\rangle\bigr|^{2} =\frac{1}{2}\bigl|a + i b\bigr|^{2}.
Verificação de que as probabilidades somam 1 (assumindo \chi normalizado, |a|^{2}+|b|^{2}=1):
Some P_{+}+P_{-}:
P_{+}+P_{-}=\frac{1}{2}\bigl(|a - i b|^{2}+|a + i b|^{2}\bigr).
Expandindo cada módulo (mostrando a conta, importante para prova):
|a - i b|^{2}=(a - i b)(a^{*}+ i b^{*})=|a|^{2}+|b|^{2}+i(a b^{*}-a^{*}b),
|a + i b|^{2}=(a + i b)(a^{*}- i b^{*})=|a|^{2}+|b|^{2}-i(a b^{*}-a^{*}b).
Somando os dois termos os termos imaginários se cancelam, ficando
|a - i b|^{2}+|a + i b|^{2}=2\bigl(|a|^{2}+|b|^{2}\bigr).
Logo
P_{+}+P_{-}=\frac{1}{2}\cdot 2\bigl(|a|^{2}+|b|^{2}\bigr)=|a|^{2}+|b|^{2}.
Se \chi é normalizado, então P_{+}+P_{-}=1, como desejado.
Comentário amigo: não se assuste com os i — eles apenas fazem as combinações a\pm i b. Na prova é suficiente lembrar das fórmulas finais para as amplitudes.]

Passo 5

Medir S_{y}^{2}.
Propriedade útil: \sigma_{y}^{2}=I (porque as matrizes de Pauli satisfazem \sigma_{i}^{2}=I). Assim
S_{y}^{2}=\left(\frac{\hbar}{2}\right)^{2}\sigma_{y}^{2}=\frac{\hbar^{2}}{4}I.
Isto significa que qualquer autovetor de S_{y} tem autovalor \hbar^{2}/4 para S_{y}^{2}; na verdade S_{y}^{2} é proporcional à identidade, logo tem único valor próprio \hbar^{2}/4 (de degenerescência 2).
Portanto, para qualquer estado \chi (normalizado ou não), se medirmos S_{y}^{2} obteremos sempre o valor \hbar^{2}/4 com probabilidade 1.

Resposta

(a) Autovalores: +\dfrac{\hbar}{2} e -\dfrac{\hbar}{2}.
Autospinores normalizados:
\left|{+y}\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt] i\end{pmatrix},\qquad \left|-y\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt] -i\end{pmatrix}.
(b) Para \chi=\begin{pmatrix}a\\[4pt] b\end{pmatrix}:
P\!\left(S_{y}=+\frac{\hbar}{2}\right)=\frac{1}{2}\bigl|a - i b\bigr|^{2}, \qquad P\!\left(S_{y}=-\frac{\hbar}{2}\right)=\frac{1}{2}\bigl|a + i b\bigr|^{2},
e P_{+}+P_{-}=|a|^{2}+|b|^{2}=1 se \chi for normalizado.
(c) Medindo S_{y}^{2} obtém-se sempre \dfrac{\hbar^{2}}{4} com probabilidade 1.]

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