Um elétron está em repouso em um campo magnético oscilante
\mathbf{B}=B_{0} \cos (\omega t) \hat{\mathbf{k}}
em que B_{0} e \omega são constantes.
(a) Monte a matriz Hamiltoniana para esse sistema.
(b) O elétron inicia (em t=0 ) no estado de spin para cima em relação ao eixo x (isto é: \chi(0)=\chi_{+}^{(x)} ). Determine \chi(t) em qualquer tempo posterior.
Alerta: esse é um Hamiltoniano dependente do tempo e, portanto, você não pode obter \chi(t) da maneira usual a partir dos estados estacionários. Felizmente, nesse caso, você pode resolver a equação de Schrödinger dependente do tempo (Equação 4.162) diretamente.
(c) Calcule a probabilidade de se obter -\hbar / 2 ao medir S_{x}.
Condição inicial: no instante t=0 o sistema está no autestado de spin “para cima” em relação ao eixo x, ou seja \chi(0)=\chi_{+}^{(x)}.
Pedidos:
(a) montar a matriz Hamiltoniana para esse sistema;
(b) resolver \chi(t) para todo t (nota: Hamiltoniano dependente do tempo — resolver a equação de Schrödinger dependente do tempo);
(c) calcular a probabilidade de obter -\hbar/2 ao medir S_x.
Pergunta extra: determinar o valor mínimo de B_{0} para forçar um giro completo em S_x (isto é, para que a probabilidade de encontrar -\hbar/2 alcance 1 em algum instante).
Esses são os dados e as perguntas. A partir do Passo 2 começamos a resolver.
Passo 2
Construindo o Hamiltoniano: energia magnética da dipola magnética na presença de \mathbf{B}.
Para uma partícula com momento magnético \boldsymbol{\mu}, a energia é
H = -\boldsymbol{\mu}\cdot\mathbf{B}.
Para o spin do elétron (notação compacta), escreve-se \boldsymbol{\mu}=\gamma\mathbf{S}. Aqui \gamma é a constante giromagnética (a convenção de sinal fica toda em \gamma; o que importa é que a forma H=-\gamma\mathbf{S}\cdot\mathbf{B} é a usada).
O operador spin para spin-1/2 relaciona-se com as matrizes de Pauli por
\mathbf{S}=\frac{\hbar}{2}\,\boldsymbol{\sigma},
onde \boldsymbol{\sigma}=(\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z).
Para que P(t)=1 precisamos que o argumento da \sin^{2} seja de forma \dfrac{\pi}{2}+n\pi para algum inteiro n. O fator \sin(\omega t) pode variar apenas entre -1 e 1. Assim o maior valor absoluto que o argumento pode tomar, variando t, é
Para que exista algum t tal que o argumento atinja pelo menos \dfrac{\pi}{2} (o primeiro ponto onde \sin^{2} = 1), é necessário e suficiente que
\frac{\gamma B_{0}}{2\omega} \ge \frac{\pi}{2}.
Isolando B_{0} obtemos o campo mínimo:
B_{0,\min}=\frac{\pi\omega}{\gamma}.
Observação: se B_{0}=B_{0,\min}, um instante que dá giro completo é aquele com \sin(\omega t)=1, por exemplo \omega t=\pi/2, caso em que o argumento é exatamente \pi/2 e a probabilidade alcança 1.