6 Construa as matrizes de spin ( S_{x}, S_{y} e S_{z} ) para uma partícula de spin 1 .
Dica: quantos autoestados de S_{z} há? Determine a ação de S_{z}, S_{+}, e S_{-}em cada um desses estados. Siga o procedimento usado no texto para o spin 1 / 2.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos:
Pedem para construir as matrizes S_{x}, S_{y} e S_{z} para uma partícula de spin 1.
Dica dada: quantos autoestados de S_{z} existem? Determine a ação de S_{z}, S_{+} e S_{-} em cada um desses estados.
Informação implícita que vamos usar: para spin s=1 os valores possíveis de m são m=+1,0,-1. Esses serão a nossa base (escolheremos a ordem \lvert 1\rangle,\lvert 0\rangle,\lvert -1\rangle).
Objetivo final: obter as matrizes 3\times3 de S_{x},S_{y},S_{z} nessa base.
Passo 2
Autoestados de S_{z} e matriz de S_{z}.
Por definição, os autoestados de S_{z} satisfazem S_{z}\lvert s,m\rangle = \hbar m\lvert s,m\rangle.
Para s=1 temos os três autovalores m=1,0,-1. Na base ordenada \{\lvert 1\rangle,\lvert 0\rangle,\lvert -1\rangle\} a matriz de S_{z} é diagonal, com entradas \hbar, 0 e -\hbar.
Agora montamos a matriz de S_{+} na base \{\lvert 1\rangle,\lvert 0\rangle,\lvert -1\rangle\}. A coluna j representa S_{+} atuando no j-ésimo estado da base; as entradas são os coeficientes na base.
Usando novamente \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} e reescrevendo os fatores imaginários:
S_{y}=\frac{\hbar}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 & -i & 0\\[4pt] i & 0 & -i\\[4pt] 0 & i & 0 \end{pmatrix}.
Observação: S_{x} e S_{y} são hermitianas (as matrizes acima são hermitianas; S_{y} tem entradas puramente imaginárias anti-simétricas).]
Passo 8
Resumo rápido para decorar e usar na prova.
Base escolhida: \{\lvert 1\rangle,\lvert 0\rangle,\lvert -1\rangle\}.
Matriz diagonal simples para S_{z}.
S_{+} tem elementos \hbar\sqrt{2} na superdiagonal imediata (conecta \lvert -1\rangle\to\lvert 0\rangle e \lvert 0\rangle\to\lvert 1\rangle).
S_{-}=(S_{+})^{\dagger}.
S_{x}=(S_{+}+S_{-})/2 e S_{y}=(S_{+}-S_{-})/(2i); ao simplificar surge o fator \hbar/\sqrt{2} nas matrizes com entradas 0,\pm1,\pm i.
Dica prática: decore as formas finais ou memorizar que a estrutura tridiagonal com coeficiente \hbar/\sqrt{2} é a de S_{x} e a de S_{y} tem os mesmos motivos multiplicados por \pm i.