6 Construa as matrizes de spin ( S_{x}, S_{y} e S_{z} ) para uma partícula de spin 1 .
Dica: quantos autoestados de S_{z} há? Determine a ação de S_{z}, S_{+}, e S_{-}em cada um desses estados. Siga o procedimento usado no texto para o spin 1 / 2.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos:
  • Pedem para construir as matrizes S_{x}, S_{y} e S_{z} para uma partícula de spin 1.
  • Dica dada: quantos autoestados de S_{z} existem? Determine a ação de S_{z}, S_{+} e S_{-} em cada um desses estados.
  • Informação implícita que vamos usar: para spin s=1 os valores possíveis de m são m=+1,0,-1. Esses serão a nossa base (escolheremos a ordem \lvert 1\rangle,\lvert 0\rangle,\lvert -1\rangle).
  • Objetivo final: obter as matrizes 3\times3 de S_{x},S_{y},S_{z} nessa base.

Passo 2

Autoestados de S_{z} e matriz de S_{z}.
  • Por definição, os autoestados de S_{z} satisfazem S_{z}\lvert s,m\rangle = \hbar m\lvert s,m\rangle.
  • Para s=1 temos os três autovalores m=1,0,-1. Na base ordenada \{\lvert 1\rangle,\lvert 0\rangle,\lvert -1\rangle\} a matriz de S_{z} é diagonal, com entradas \hbar, 0 e -\hbar.
S_{z} = \hbar\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}
  • Interpretação prática: agir com S_{z} sobre \lvert 1\rangle devolve \hbar\lvert 1\rangle, sobre \lvert 0\rangle devolve 0, sobre \lvert -1\rangle devolve -\hbar\lvert -1\rangle.]

Passo 3

Fórmula de ação dos operadores de subida/descida ( S_{\pm}) e explicação.
  • Definição: S_{\pm}=S_{x}\pm iS_{y}.
  • A ação padrão (normalizada) para spin s é
S_{\pm}\lvert s,m\rangle = \hbar\sqrt{s(s+1)-m(m\pm 1)}\;\lvert s,m\pm 1\rangle.
  • Aqui s=1. Vou aplicar essa fórmula para m=1,0,-1 para encontrar os coeficientes numéricos que aparecem ao aplicar S_{\pm}.
  • Observação física: o fator dentro da raiz vem da álgebra de Lie dos operadores angulares e garante normalização correta dos estados.

Passo 4

Calcular explicitamente S_{+} em cada autoestado \lvert m\rangle para s=1.
  • Para m=1:
S_{+}\lvert 1\rangle = \hbar\sqrt{1(1+1)-1(1+1)}\lvert 2\rangle = \hbar\sqrt{2-2}\;(\cdots)=0.
(Estado \lvert 2\rangle não existe para s=1, coeficiente zero.)
  • Para m=0:
S_{+}\lvert 0\rangle = \hbar\sqrt{1(2)-0\cdot 1}\;\lvert 1\rangle = \hbar\sqrt{2}\;\lvert 1\rangle.
  • Para m=-1:
S_{+}\lvert -1\rangle = \hbar\sqrt{1(2)-(-1)\cdot 0}\;\lvert 0\rangle = \hbar\sqrt{2}\;\lvert 0\rangle.
  • Agora montamos a matriz de S_{+} na base \{\lvert 1\rangle,\lvert 0\rangle,\lvert -1\rangle\}. A coluna j representa S_{+} atuando no j-ésimo estado da base; as entradas são os coeficientes na base.
S_{+}=\hbar\begin{pmatrix} 0 & \sqrt{2} & 0\\[4pt] 0 & 0 & \sqrt{2}\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}]

Passo 5

Matriz de S_{-} e relação com S_{+}.
  • Pelo adjunto, S_{-}=(S_{+})^{\dagger}. Aplicando a fórmula explícita:
S_{-}\lvert 1\rangle = \hbar\sqrt{2}\;\lvert 0\rangle,\qquad S_{-}\lvert 0\rangle = \hbar\sqrt{2}\;\lvert -1\rangle,\qquad S_{-}\lvert -1\rangle = 0.
  • Logo a matriz é
S_{-}=\hbar\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] \sqrt{2} & 0 & 0\\[4pt] 0 & \sqrt{2} & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Construir S_{x} a partir de S_{+} e S_{-} e simplificar.
  • Fórmula: S_{x}=\dfrac{S_{+}+S_{-}}{2}.
  • Substituindo as matrizes de S_{+} e S_{-}:
S_{x}=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 & \sqrt{2} & 0\\[4pt] \sqrt{2} & 0 & \sqrt{2}\\[4pt] 0 & \sqrt{2} & 0 \end{pmatrix}.
  • Fatorando \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} obtemos a forma mais comum:
S_{x}=\frac{\hbar}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Construir S_{y} a partir de S_{+} e S_{-} e simplificar.
  • Fórmula: S_{y}=\dfrac{S_{+}-S_{-}}{2i}.
  • Substituindo e simplificando obtemos entradas imaginárias antissimétricas:
S_{y}=\frac{\hbar}{2i}\begin{pmatrix} 0 & \sqrt{2} & 0\\[4pt] -\sqrt{2} & 0 & \sqrt{2}\\[4pt] 0 & -\sqrt{2} & 0 \end{pmatrix}.
  • Usando novamente \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} e reescrevendo os fatores imaginários:
S_{y}=\frac{\hbar}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 & -i & 0\\[4pt] i & 0 & -i\\[4pt] 0 & i & 0 \end{pmatrix}.
  • Observação: S_{x} e S_{y} são hermitianas (as matrizes acima são hermitianas; S_{y} tem entradas puramente imaginárias anti-simétricas).]

Passo 8

Resumo rápido para decorar e usar na prova.
  • Base escolhida: \{\lvert 1\rangle,\lvert 0\rangle,\lvert -1\rangle\}.
  • Matriz diagonal simples para S_{z}.
  • S_{+} tem elementos \hbar\sqrt{2} na superdiagonal imediata (conecta \lvert -1\rangle\to\lvert 0\rangle e \lvert 0\rangle\to\lvert 1\rangle).
  • S_{-}=(S_{+})^{\dagger}.
  • S_{x}=(S_{+}+S_{-})/2 e S_{y}=(S_{+}-S_{-})/(2i); ao simplificar surge o fator \hbar/\sqrt{2} nas matrizes com entradas 0,\pm1,\pm i.
  • Dica prática: decore as formas finais ou memorizar que a estrutura tridiagonal com coeficiente \hbar/\sqrt{2} é a de S_{x} e a de S_{y} tem os mesmos motivos multiplicados por \pm i.

Resposta

S_{z}=\hbar\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}
S_{x}=\frac{\hbar}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
S_{y}=\frac{\hbar}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 & -i & 0\\[4pt] i & 0 & -i\\[4pt] 0 & i & 0 \end{pmatrix}]

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