Um elétron é introduzido em uma das extremidades de um solenóide. Ao penetrar no campo magnético uniforme que existe no interior do solenóide a velocidade do elétron possui magnitude
e faz um ângulo
com o eixo do solenóide. O solenóide tem
espiras e conduz uma corrente
. Quantas revoluções o elétron desenvolve no interior do solenóide antes de chegar à outra extremidade? (Resp.
)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um elétron que entra em um solenóide com um campo magnético uniforme. A gente precisa descobrir quantas voltas o elétron dá dentro do solenóide antes de sair pela outra extremidade. Para isso, vamos usar conceitos de força magnética sobre partículas carregadas em movimento e movimento circular. Vamos precisar das seguintes informações: número de espiras do solenóide (
), corrente no solenóide (
), velocidade do elétron (
), o ângulo que a velocidade faz com o eixo do solenóide (
), a constante magnética (
), a carga do elétron (
) e sua massa (
).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo magnético dentro de um solenóide. O campo magnético (
) em um solenóide é dado pela fórmula:
Onde:
-
é a permeabilidade magnética do vácuo, -
é o número de espiras, -
é a corrente elétrica, -
é o comprimento do solenóide.
No entanto, como o comprimento
não foi fornecido, vamos considerar que o campo magnético
está diretamente proporcional a
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o movimento do elétron dentro do campo magnético. A velocidade do elétron faz um ângulo
com o eixo do solenóide, então podemos decompor a velocidade
em duas componentes:
-
Paralela ao campo (
): -
Perpendicular ao campo (
):
A componente perpendicular é a que vai causar a força magnética e, consequentemente, o movimento circular do elétron.
Passo 4
A força magnética (
) que atua sobre o elétron é dada por:
Essa força é a responsável por fornecer a força centrípeta necessária para o movimento circular, que é:
Igualando as duas expressões:
Podemos simplificar cancelando um
:
Daqui, resolvemos para o raio
da trajetória circular:
Substituindo
e
:
Passo 5
Agora, vamos determinar o número de revoluções que o elétron dá enquanto percorre o comprimento
do solenóide. Primeiro, precisamos encontrar a frequência angular (
) do movimento circular:
Substituindo o valor de
que encontramos:
O tempo (
) que o elétron leva para atravessar o solenóide é dado por:
O número de revoluções (
) é o produto da frequência angular pela metade de pi vezes o tempo:
Resposta
A quantidade de revoluções que o elétron dá dentro do solenóide antes de chegar à outra extremidade é: