Um elétron é introduzido em uma das extremidades de um solenóide. Ao penetrar no campo magnético uniforme que existe no interior do solenóide a velocidade do elétron possui magnitude v e faz um ângulo theta com o eixo do solenóide. O solenóide tem N espiras e conduz uma corrente I. Quantas revoluções o elétron desenvolve no interior do solenóide antes de chegar à outra extremidade? (Resp. N muo e )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um elétron que entra em um solenóide com um campo magnético uniforme. A gente precisa descobrir quantas voltas o elétron dá dentro do solenóide antes de sair pela outra extremidade. Para isso, vamos usar conceitos de força magnética sobre partículas carregadas em movimento e movimento circular. Vamos precisar das seguintes informações: número de espiras do solenóide ( N), corrente no solenóide ( I), velocidade do elétron ( v), o ângulo que a velocidade faz com o eixo do solenóide ( theta), a constante magnética ( mu0), a carga do elétron ( e) e sua massa ( m).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo magnético dentro de um solenóide. O campo magnético ( B) em um solenóide é dado pela fórmula:
B = mu0 N IL
Onde:
  • mu0 é a permeabilidade magnética do vácuo,
  • N é o número de espiras,
  • I é a corrente elétrica,
  • L é o comprimento do solenóide.
No entanto, como o comprimento L não foi fornecido, vamos considerar que o campo magnético B está diretamente proporcional a N I.

Passo 3

Agora, vamos analisar o movimento do elétron dentro do campo magnético. A velocidade do elétron faz um ângulo theta com o eixo do solenóide, então podemos decompor a velocidade v em duas componentes:
  • Paralela ao campo ( vparal<=l):
    vparal<=l = v costheta
  • Perpendicular ao campo ( vperp):
    vperp = v sintheta
A componente perpendicular é a que vai causar a força magnética e, consequentemente, o movimento circular do elétron.

Passo 4

A força magnética ( F) que atua sobre o elétron é dada por:
F = e vperp B
Essa força é a responsável por fornecer a força centrípeta necessária para o movimento circular, que é:
F = m vperp^2r
Igualando as duas expressões:
e vperp B = m vperp^2r
Podemos simplificar cancelando um vperp:
e B = m vperpr
Daqui, resolvemos para o raio r da trajetória circular:
r = m vperpe B
Substituindo vperp = v sintheta e B = mu0 N IL:
r = m v sinthetae mu0 N IL = m v sintheta Le mu0 N I

Passo 5

Agora, vamos determinar o número de revoluções que o elétron dá enquanto percorre o comprimento L do solenóide. Primeiro, precisamos encontrar a frequência angular ( omega) do movimento circular:
omega = vperpr = v sinthetar
Substituindo o valor de r que encontramos:
omega = v sinthetam v sintheta Le mu0 N I = e mu0 N Im L
O tempo ( t) que o elétron leva para atravessar o solenóide é dado por:
t = Lv costheta
O número de revoluções ( n) é o produto da frequência angular pela metade de pi vezes o tempo:
n = omega t cdot 12pi = e mu0 N Im L cdot Lv costheta cdot 12pi = e mu0 N theta2pi m v

Resposta

A quantidade de revoluções que o elétron dá dentro do solenóide antes de chegar à outra extremidade é:
n = N mu0 e theta2 pi m v

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