Um elétron de 3,0 \mathrm{eV} é capturado por um núcleo nu de hélio. Se um fóton 2400 Å for emitido, em que nível o elétron foi capturado? (temos Z=2 para o hélio).

Passo 1

O enunciado informa que um elétron livre com energia cinética de \mathrm{3,0}\,\mathrm{eV} é capturado por um núcleo de hélio nu ( Z=2), emitindo um fóton de comprimento de onda \lambda=2400\,\text{\AA}. Para resolver, usamos o modelo de Bohr para átomos hidrogenoides, em que os níveis de energia são dados por
E_n = -\frac{Z^2 \cdot 13{,}6\,\mathrm{eV}}{n^2}
e a conservação de energia entre o estado livre (energia zero mais cinética) e o estado ligado.

Passo 2

Calculamos a energia do fóton a partir de \lambda usando
E_{\text{fóton}} = \frac{hc}{\lambda}\,.ó
Com hc = 1240\,\mathrm{eV\,nm} e \lambda = 2400\,\text{\AA} = 240\,\text{nm}, obtemos
E_{\text{fóton}} = \frac{1240\,\mathrm{eV\,nm}}{240\,\text{nm}} \approx 5{,}17\,\mathrm{eV}.ó

Passo 3

Pela conservação de energia, a energia do fóton é a soma da energia cinética inicial e da energia de ligação (valor absoluto) do nível n:
E_{\text{fóton}} = E_{\text{cin}} + \lvert E_n\rvert.ó

Passo 4

Isolando \lvert E_n\rvert, temos
\lvert E_n\rvert = E_{\text{fóton}} - E_{\text{cin}} = 5{,}17\,\mathrm{eV} - 3{,}0\,\mathrm{eV} = 2{,}17\,\mathrm{eV}.ó

Passo 5

Na fórmula de Bohr para hidrogenoides,
\lvert E_n\rvert = \frac{Z^2 \cdot 13{,}6\,\mathrm{eV}}{n^2}.
Substituindo Z=2 e \lvert E_n\rvert=2{,}17\,\mathrm{eV},
\frac{4\cdot13{,}6}{n^2} = 2{,}17 \quad\Longrightarrow\quad n^2 = \frac{4\cdot13{,}6}{2{,}17} \approx 25{,}1 \quad\Longrightarrow\quad n \approx \sqrt{25{,}1}\approx 5{,}01.

Passo 6

Como n deve ser inteiro, o elétron foi capturado no nível

Resposta

n = 5

Exercícios relacionados