Se um ciclo de Carnot é realizado ao contrário, temos um refrigerador. Uma quantidade de calor \left|Q_{B}\right| é extraída à temperatura inferior T_{B} e a quantidade de calor \left|Q_{A}\right| é liberada à temperatura superior T_{A}. A diferença está no trabalho W que deve ser fornecido para fazer funcionar o refrigerador. (a) Mostre que
|W|=\left|Q_{B}\right|\left(T_{A}-T_{B}\right) / T_{B}
(b) O coeficiente de desempenho K de um refrigerador é definido como a razão entre o calor extraído do reservatório frio e o trabalho necessário para operar o refrigerador. Mostre que,
K=T_{B} /\left(T_{A}-T_{B}\right)
(c) Num refrigerador mecânico as serpentinas de baixa temperatura estão a -13^{\circ} \mathrm{C} e o gás comprimido no condensador a 25^{\circ} \mathrm{C}. Determine o coeficiente teórico de desempenho. Resp.: 6,8

Passo 1

O enunciado fala de um ciclo de Carnot executado ao contrário (refrigerador): extrai-se \lvert Q_{B}\rvert do reservatório frio a T_{B}, rejeita-se \lvert Q_{A}\rvert no reservatório quente a T_{A} e requer-se trabalho W. Vamos usar a primeira lei da termodinâmica (conservação de energia) e a relação de reversibilidade de Carnot:
\frac{\lvert Q_{A}\rvert}{T_{A}} \;=\;\frac{\lvert Q_{B}\rvert}{T_{B}}.

Passo 2

Pela reversibilidade do ciclo de Carnot invertido vale
\frac{\lvert Q_{A}\rvert}{T_{A}} \;=\;\frac{\lvert Q_{B}\rvert}{T_{B}} \quad\Longrightarrow\quad \lvert Q_{A}\rvert = \lvert Q_{B}\rvert\,\frac{T_{A}}{T_{B}}.
Pela primeira lei, o trabalho fornecido é a diferença entre o calor rejeitado e extraído:
\lvert W\rvert = \lvert Q_{A}\rvert - \lvert Q_{B}\rvert = \lvert Q_{B}\rvert\Bigl(\frac{T_{A}}{T_{B}} - 1\Bigr) = \lvert Q_{B}\rvert\,\frac{T_{A}-T_{B}}{T_{B}}.

Passo 3

O coeficiente de desempenho K é definido por
K = \frac{\lvert Q_{B}\rvert}{\lvert W\rvert}.
Substituindo \lvert W\rvert do passo anterior,
K = \frac{\lvert Q_{B}\rvert}{\lvert Q_{B}\rvert\,(T_{A}-T_{B})/T_{B}} = \frac{T_{B}}{T_{A}-T_{B}}.

Passo 4

Para T_{B}=-13^\circ\mathrm{C}=260\\ \mathrm{K} e T_{A}=25^\circ\mathrm{C}=298\\ \mathrm{K},
K = \frac{260}{298 - 260} = \frac{260}{38} \approx 6,8.

Resposta

(a) \displaystyle \lvert W\rvert = \lvert Q_{B}\rvert\,\frac{T_{A}-T_{B}}{T_{B}}.
(b) \displaystyle K = \frac{T_{B}}{T_{A}-T_{B}}.
(c) \displaystyle K \approx 6,8.

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