Questão 6. Uma esfera sólida com massa de 5.15 kg e raio de 0.340 m parte do repouso a uma altura de 2.10 m acima da base de um plano inclinado e rola sem deslizar sob a ação da gravidade.
Qual é a velocidade linear do centro de massa da esfera no instante em que ela deixa o plano inclinado e rola sobre uma superfície horizontal?

Passo 1

O enunciado dá uma esfera sólida de massa 5{,}15,kg e raio 0{,}340,m que parte do repouso a uma altura de 2{,}10,m e rola sem deslizar. O conteúdo que vamos usar é a conservação da energia mecânica para um corpo que traduz e roda sem deslizar.

Passo 2

Pela conservação da energia mecânica, a energia potencial inicial mgh se transforma em energia cinética de translação mais energia cinética de rotação no fim do plano inclinado:
m g h \;=\; \tfrac12\,m\,v^2 \;+\;\tfrac12\,I\,\omega^2.

Passo 3

Para uma esfera sólida o momento de inércia em relação ao centro de massa é
I = \tfrac25\,m\,R^2,
e rolamento sem deslizar impõe
\omega = \frac{v}{R}.

Passo 4

Substituindo I e \omega em \tfrac12\,I\,\omega^2 obtemos
\tfrac12\,I\,\omega^2 = \tfrac12\;\bigl(\tfrac25\,m\,R^2\bigr)\;\bigl(\tfrac{v^2}{R^2}\bigr) = \tfrac15\,m\,v^2.
Então a energia cinética total vale
\tfrac12\,m\,v^2 + \tfrac15\,m\,v^2 = \tfrac7{10}\,m\,v^2.

Passo 5

Igualando mgh a \tfrac7{10}m v^2 e cancelando m,
g\,h = \tfrac7{10}\,v^2 \quad\Longrightarrow\quad v^2 = \frac{10}{7}\,g\,h \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{10}{7}\,g\,h}.

Passo 6

Substituindo g=9{,}8,m/s ^2 e h=2{,}10,m,
v = \sqrt{\frac{10}{7} \times 9{,}8 \times 2{,}10} \approx \sqrt{29{,}4} \approx 5{,}42\text{ m/s}.

Resposta

A velocidade linear do centro de massa ao atingir a superfície horizontal é aproximadamente 5{,}42,m/s.

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