Um elétron se move em uma órbita circular de raio igual a 7,0[m] \mathrm{em} um campo magnético de módulo igual a 1,5[T]. Determine: (a) a velocidade do elétron; (b) o tempo necessário para uma revolução.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas:
Dados:
r=7,0\\ \mathrm{m}
B=1,5\\ \mathrm{T}
O corpo é um elétron, portanto vamos usar as constantes (valores conhecidos):
|q|=1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}\quad\text{(módulo da carga do elétron)}óé
m_e=9,11\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}\quad\text{(massa do elétron)}é
Perguntas:
(a) Determine a velocidade do elétron na órbita circular.
(b) Determine o tempo necessário para uma revolução (período).

Passo 2

Conceito físico principal (explicadinho): quando uma carga se move perpendicularmente a um campo magnético uniforme, ela sofre uma força magnética (força de Lorentz) de módulo
F_B = |q|\,v\,B,
onde:
  • |q| é o módulo da carga (no caso do elétron usamos o módulo, porque queremos o valor da velocidade),
  • v é a velocidade da partícula,
  • B é o módulo do campo magnético.
Se a partícula descreve movimento circular de raio r, a força magnética fornece a força centrípeta necessária para manter a órbita. A força centrípeta tem módulo
F_c = \frac{m\,v^2}{r},
onde:
  • m é a massa da partícula,
  • v é a velocidade,
  • r é o raio da trajetória.

Passo 3

Igualamos a força magnética à força centrípeta (essa é a hipótese de que o movimento é circular e v é perpendicular a B):
|q|\,v\,B=\frac{m\,v^{2}}{r}.
Agora isolamos v. Primeiro podemos simplificar um v em ambos os lados (supondo v\neq0):
|q|\,B=\frac{m\,v}{r}.
Multiplicando ambos os lados por r/m obtemos a expressão para a velocidade:
v=\frac{|q|\,B\,r}{m}.
Explicando: essa fórmula diz que quanto maior a carga, o campo ou o raio, maior será v; quanto maior a massa, menor será v.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos na fórmula. Vamos primeiro colocar tudo em notação científica para facilitar:
|q|=1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}, \quad B=1,5\\ \mathrm{T}, \quad r=7,0\\ \mathrm{m}, \quad m=9,11\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
Calcule o numerador:
|q|Br=(1,602\times10^{-19})\cdot(1,5)\cdot(7,0).
Fazendo as multiplicações passo a passo:
1,602\times1,5=2,403,
2,403\times7,0=16,821.
Portanto o numerador em notação científica é
16,821\times10^{-19}=1,6821\times10^{-18}.
Agora dividimos pelo denominador m=9,11\times10^{-31}:
v=\frac{1,6821\times10^{-18}}{9,11\times10^{-31}}=\left(\frac{1,6821}{9,11}\right)\times10^{13}.
Calculando a razão numérica:
\frac{1,6821}{9,11}\approx0,1847,
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v\approx0,1847\times10^{13}=1,847\times10^{12}\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando com três algarismos significativos:
v\approx1,85\times10^{12}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Verificação de unidades (para você saber por que deu \mathrm{m/s}):
\frac{|q|Br}{m}\\ \rightarrow\\ \frac{\mathrm{C}\cdot\mathrm{T}\cdot\mathrm{m}}{\mathrm{kg}}.
Lembrando que 1\\ \mathrm{T} = 1\\ \mathrm{N/(A\cdot m)} e 1\\ \mathrm{C}=1\\ \mathrm{A\cdot s}, via manipulação dá \mathrm{m/s}. Então a unidade está coerente.
Obs. rápida (fato importante para a prova e para sua intuição): esse valor numérico é muito maior que a velocidade da luz c\approx3,0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}. Isso mostra que a aplicação do resultado clássico aqui leva a um resultado fisicamente impossível — indicando que, para parâmetros tão grandes, seria necessário tratar o problema com relatividade. Mesmo assim, como exercício de mecânica clássica, seguimos o procedimento algébrico pedido.

Passo 6

Agora o tempo para uma revolução: o período T é o comprimento da circunferência dividido pela velocidade:
T=\frac{2\pi r}{v}.
Aqui 2\pi r é o comprimento da órbita circular e v é a rapidez.

Passo 7

Substituímos r=7,0\\ \mathrm{m} e v\approx1,847\times10^{12}\\ \mathrm{m/s}:
2\pi r=2\pi\cdot7,0=14\pi\approx43,9823\\ \mathrm{m}.
Agora
T=\frac{43,9823}{1,847\times10^{12}}\\ \mathrm{s}\approx2,3817\times10^{-11}\\ \mathrm{s}.
Arredondando com três algarismos significativos:
T\approx2,38\times10^{-11}\\ \mathrm{s}.

Resposta

(a) v\approx1,85\times10^{12}\\ \mathrm{m/s}
(b) T\approx2,38\times10^{-11}\\ \mathrm{s}

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