Um elétron se move em uma órbita circular de raio igual a
um campo magnético de módulo igual a
. Determine: (a) a velocidade do elétron; (b) o tempo necessário para uma revolução.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas:
Dados:
O corpo é um elétron, portanto vamos usar as constantes (valores conhecidos):
Perguntas:
(a) Determine a velocidade do elétron na órbita circular.
(b) Determine o tempo necessário para uma revolução (período).
(a) Determine a velocidade do elétron na órbita circular.
(b) Determine o tempo necessário para uma revolução (período).
Passo 2
Conceito físico principal (explicadinho): quando uma carga se move perpendicularmente a um campo magnético uniforme, ela sofre uma força magnética (força de Lorentz) de módulo
onde:
-
é o módulo da carga (no caso do elétron usamos o módulo, porque queremos o valor da velocidade), -
é a velocidade da partícula, -
é o módulo do campo magnético.
Se a partícula descreve movimento circular de raio
, a força magnética fornece a força centrípeta necessária para manter a órbita. A força centrípeta tem módulo
onde:
-
é a massa da partícula, -
é a velocidade, -
é o raio da trajetória.
Passo 3
Igualamos a força magnética à força centrípeta (essa é a hipótese de que o movimento é circular e
é perpendicular a
):
Agora isolamos
. Primeiro podemos simplificar um
em ambos os lados (supondo
):
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a expressão para a velocidade:
Explicando: essa fórmula diz que quanto maior a carga, o campo ou o raio, maior será
; quanto maior a massa, menor será
.
Passo 4
Agora substituímos os valores numéricos na fórmula. Vamos primeiro colocar tudo em notação científica para facilitar:
Calcule o numerador:
Fazendo as multiplicações passo a passo:
Portanto o numerador em notação científica é
Agora dividimos pelo denominador
:
Calculando a razão numérica:
logo
Arredondando com três algarismos significativos:
Passo 5
Verificação de unidades (para você saber por que deu
):
Lembrando que
e
, via manipulação dá
. Então a unidade está coerente.
Obs. rápida (fato importante para a prova e para sua intuição): esse valor numérico é muito maior que a velocidade da luz
. Isso mostra que a aplicação do resultado clássico aqui leva a um resultado fisicamente impossível — indicando que, para parâmetros tão grandes, seria necessário tratar o problema com relatividade. Mesmo assim, como exercício de mecânica clássica, seguimos o procedimento algébrico pedido.
Passo 6
Agora o tempo para uma revolução: o período
é o comprimento da circunferência dividido pela velocidade:
Aqui
é o comprimento da órbita circular e
é a rapidez.
Passo 7
Substituímos
e
:
Agora
Arredondando com três algarismos significativos:
Resposta
(a)
(b)
(b)