Um próton entra em uma região do espaço onde existe um campo magnético uniforme igual a (0,7 \hat{k}-1,2 \hat{\imath})[\mathrm{T}]. A velocidade do próton é (0,65 \hat{\jmath}-0,55 \hat{\imath}) c [ m / s ], onde c é a velocidade da luz no vácuo. Determine a força magnética sobre o próton.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a força magnética sobre um próton. As informações dadas são:
  • Campo magnético: \mathbf{B} = -1,2\,\hat{\imath} + 0,7\,\hat{k} [T]. (Peguei esses componentes diretamente do enunciado.)
  • Velocidade do próton: \mathbf{v} = -0,55\,c\,\hat{\imath} + 0,65\,c\,\hat{\jmath} [m/s]. (Também peguei esses componentes diretamente do enunciado; note que c é a velocidade da luz.)
  • Queremos a força magnética sobre o próton (vetor).

Passo 2

Teoria necessária (aula rápida e tranquila): a força magnética sobre uma carga puntiforme que se move é dada pela regra de Lorentz (apenas a parte magnética aqui), isto é
\mathbf{F} = q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B}.
Significado dos símbolos:
  • \mathbf{F} é a força magnética (vetor) que queremos, em newtons (N).
  • q é a carga da partícula; para o próton q = +e, onde e = 1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
  • \mathbf{v} é a velocidade da partícula (m/s).
  • \mathbf{B} é o campo magnético (T).
  • O produto vetorial \mathbf{v}\times\mathbf{B} dá um terceiro vetor perpendicular a \mathbf{v} e \mathbf{B}. Em coordenadas cartesianas, os componentes são dados por
(\mathbf{v}\times\mathbf{B})_x = v_y B_z - v_z B_y,
(\mathbf{v}\times\mathbf{B})_y = v_z B_x - v_x B_z,
(\mathbf{v}\times\mathbf{B})_z = v_x B_y - v_y B_x.
Vou usar essas fórmulas para calcular passo a passo.

Passo 3

Converter a velocidade escrita em múltiplos de c para m/s. Vou usar \;c = 3,0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
Componentes da velocidade:
v_x = -0,55\,c = -0,55\cdot 3,0\times10^{8} = -1,65\times10^{8}\\ \mathrm{m/s},
v_y = 0,65\,c = 0,65\cdot 3,0\times10^{8} = 1,95\times10^{8}\\ \mathrm{m/s},
v_z = 0.
Reescrevendo o campo magnético em componentes:
B_x = -1,2\\ \mathrm{T},\qquad B_y = 0,\qquad B_z = 0,7\\ \mathrm{T}.

Passo 4

Calcular o produto vetorial \mathbf{v}\times\mathbf{B} usando as fórmulas das componentes:
(\mathbf{v}\times\mathbf{B})_x = v_y B_z - v_z B_y,
(\mathbf{v}\times\mathbf{B})_y = v_z B_x - v_x B_z,
(\mathbf{v}\times\mathbf{B})_z = v_x B_y - v_y B_x.
Agora substituo os valores numéricos de v_x,v_y,v_z e B_x,B_y,B_z.

Passo 5

Cálculos do produto vetorial (passo a passo):
Para o componente x:
(\mathbf{v}\times\mathbf{B})_x = v_y B_z - v_z B_y = (1,95\times10^{8})(0,7) - 0\cdot 0 = 1,365\times10^{8}.
Para o componente y:
(\mathbf{v}\times\mathbf{B})_y = v_z B_x - v_x B_z = 0\cdot(-1,2) - (-1,65\times10^{8})(0,7) = 1,155\times10^{8}.
Para o componente z:
(\mathbf{v}\times\mathbf{B})_z = v_x B_y - v_y B_x = (-1,65\times10^{8})\cdot 0 - (1,95\times10^{8})(-1,2) = 2,34\times10^{8}.
Portanto, o produto vetorial vale (ainda em unidades de \mathrm{m/s}\cdot\mathrm{T}):
\mathbf{v}\times\mathbf{B} = \bigl(1,365\times10^{8},\;1,155\times10^{8},\;2,34\times10^{8}\bigr).

Passo 6

Multiplicar pelo valor da carga do próton para obter a força: q = e = 1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
Calcule componente a componente:
F_x = q\cdot 1,365\times10^{8} = 1,602\times10^{-19}\cdot 1,365\times10^{8} = 2,18673\times10^{-11}\\ \mathrm{N}.
F_y = q\cdot 1,155\times10^{8} = 1,602\times10^{-19}\cdot 1,155\times10^{8} = 1,85031\times10^{-11}\\ \mathrm{N}.
F_z = q\cdot 2,34\times10^{8} = 1,602\times10^{-19}\cdot 2,34\times10^{8} = 3,74868\times10^{-11}\\ \mathrm{N}.
Arredondando para três algarismos significativos, temos:
F_x \approx 2,19\times10^{-11}\\ \mathrm{N},\qquad F_y \approx 1,85\times10^{-11}\\ \mathrm{N},\qquad F_z \approx 3,75\times10^{-11}\\ \mathrm{N}.

Resposta

\mathbf{F} = 2,19\times10^{-11}\,\hat{\imath} + 1,85\times10^{-11}\,\hat{\jmath} + 3,75\times10^{-11}\,\hat{k}\\ \mathrm{N}

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