Um condutor reto de comprimento igual a
orienta-se verticalmente e produz, a
dele, um campo magnético uniforme de
. Determine a corrente elétrica através do condutor.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz uma pergunta bem direta.
- Dado: comprimento do condutor igual a
. - Dado: distância do ponto ao condutor igual a
. - Dado: campo magnético medido a essa distância igual a
. - Pedido: determinar a corrente elétrica
que atravessa o condutor.
Observações importantes extraídas do enunciado (vai ajudar na escolha do método): a distância
é muito pequena comparada ao comprimento
; isso permite usar a aproximação de condutor “muito longo” (ou praticamente infinito) para calcular o campo próximo dele.
Passo 2
Escolha do método (e por que): para um fio retilíneo muito longo, o campo magnético a uma distância
do fio é dado pela fórmula obtida a partir da Lei de Ampère (ou do teorema de Biot–Savart) devido à simetria cilíndrica. Como
, é apropriado usar essa fórmula simples em vez de calcular o campo exato de um fio de comprimento finito (que exigiria integrais e daria resultado mais complicado). Vou usar a expressão padrão
onde cada símbolo significa:
-
é o módulo do campo magnético no ponto a distância do fio (em tesla), -
é a permeabilidade do vácuo, , -
é a corrente no fio (em ampères), -
é a distância do fio ao ponto onde se mede (em metros).
Passo 3
Brevíssima explicação da fórmula (pra você entender na prova): a Lei de Ampère diz que a integral de linha de
ao longo de uma curva fechada é igual a
vezes a corrente total atravessando a superfície limitada por essa curva:
No caso do fio retilíneo infinito escolhemos uma curva circular de raio
centrada no fio. Por simetria
tem módulo constante sobre essa circunferência e é tangente, então a integral vira
, daí isolamos
e obtemos a fórmula usada no passo anterior.
Passo 4
Converter as unidades para o SI (importante fazer contas sem erro):
- Distância:
. Em TeX: . - Campo magnético:
. Em TeX: . - Usaremos
.
Passo 5
Isolar
na fórmula e preparar para substituir os números:
Agora substituímos os valores (cada número está em TeX):
Passo 6
Fazer as simplificações e calcular passo a passo (mostro as contas para você reproduzir sem calculadora):
- Primeiro, cancele o fator
no numerador e denominador:
- Calcule o produto numérico no numerador:
- Assim
- Divida os coeficientes e subtraia expoentes:
portanto
Passo 7
Verificação rápida e comentário final:
é um valor grande, mas plausível para correntes em cabos de alta potência. A aproximação de fio “infinito” é adequada aqui porque o ponto está muito perto do fio em relação ao comprimento total do fio (
versus
). Se fosse necessário maior precisão para um fio relativamente curto, deveríamos usar a expressão completa obtida por Biot–Savart para um segmento finito, mas não é o caso pedido.