Um condutor reto de comprimento igual a 100,0[\mathrm{~m}] orienta-se verticalmente e produz, a 15[\mathrm{~cm}] dele, um campo magnético uniforme de 2,0[\mathrm{mT}]. Determine a corrente elétrica através do condutor.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz uma pergunta bem direta.
  • Dado: comprimento do condutor igual a 100{,}0[\mathrm{m}].
  • Dado: distância do ponto ao condutor igual a 15[\mathrm{cm}].
  • Dado: campo magnético medido a essa distância igual a 2{,}0[\mathrm{mT}].
  • Pedido: determinar a corrente elétrica I que atravessa o condutor.
Observações importantes extraídas do enunciado (vai ajudar na escolha do método): a distância 15[\mathrm{cm}] é muito pequena comparada ao comprimento 100{,}0[\mathrm{m}]; isso permite usar a aproximação de condutor “muito longo” (ou praticamente infinito) para calcular o campo próximo dele.

Passo 2

Escolha do método (e por que): para um fio retilíneo muito longo, o campo magnético a uma distância r do fio é dado pela fórmula obtida a partir da Lei de Ampère (ou do teorema de Biot–Savart) devido à simetria cilíndrica. Como 100{,}0\\ \mathrm{m}\gg0{,}15\\ \mathrm{m}, é apropriado usar essa fórmula simples em vez de calcular o campo exato de um fio de comprimento finito (que exigiria integrais e daria resultado mais complicado). Vou usar a expressão padrão
B=\frac{\mu_{0}\,I}{2\pi r},
onde cada símbolo significa:
  • B é o módulo do campo magnético no ponto a distância r do fio (em tesla),
  • \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo, \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A},
  • I é a corrente no fio (em ampères),
  • r é a distância do fio ao ponto onde se mede B (em metros).

Passo 3

Brevíssima explicação da fórmula (pra você entender na prova): a Lei de Ampère diz que a integral de linha de \vec B ao longo de uma curva fechada é igual a \mu_{0} vezes a corrente total atravessando a superfície limitada por essa curva:
\oint \vec B\cdot d\vec l=\mu_{0} I_{\text{enc}}.
No caso do fio retilíneo infinito escolhemos uma curva circular de raio r centrada no fio. Por simetria \vec B tem módulo constante sobre essa circunferência e é tangente, então a integral vira B(2\pi r)=\mu_0 I, daí isolamos B e obtemos a fórmula usada no passo anterior.

Passo 4

Converter as unidades para o SI (importante fazer contas sem erro):
  • Distância: 15[\mathrm{cm}]=0{,}15[\mathrm{m}]. Em TeX: r=0{,}15\\ \mathrm{m}.
  • Campo magnético: 2{,}0[\mathrm{mT}]=2{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{T}. Em TeX: B=2{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{T}.
  • Usaremos \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}.

Passo 5

Isolar I na fórmula e preparar para substituir os números:
B=\frac{\mu_{0}\,I}{2\pi r}\quad\Longrightarrow\quad I=\frac{2\pi r\,B}{\mu_{0}}.
Agora substituímos os valores (cada número está em TeX):
I=\frac{2\pi\,(0{,}15)\,(2{,}0\times10^{-3})}{4\pi\times10^{-7}}.

Passo 6

Fazer as simplificações e calcular passo a passo (mostro as contas para você reproduzir sem calculadora):
  • Primeiro, cancele o fator \pi no numerador e denominador:
I=\frac{2\,(0{,}15)\,(2{,}0\times10^{-3})}{4\times10^{-7}}.
  • Calcule o produto numérico no numerador:
2\times0{,}15\times2{,}0\times10^{-3}= (2\times2{,}0)\times0{,}15\times10^{-3}=4\times0{,}15\times10^{-3}=0{,}6\times10^{-3}=6{,}0\times10^{-4}.
  • Assim
I=\frac{6{,}0\times10^{-4}}{4\times10^{-7}}.
  • Divida os coeficientes e subtraia expoentes:
\frac{6{,}0}{4}=1{,}5\quad\text{e}\quad 10^{-4-(-7)}=10^{3},
portanto
I=1{,}5\times10^{3}\\ \mathrm{A}.

Passo 7

Verificação rápida e comentário final: I=1{,}5\times10^{3}\\ \mathrm{A}=1500\\ \mathrm{A} é um valor grande, mas plausível para correntes em cabos de alta potência. A aproximação de fio “infinito” é adequada aqui porque o ponto está muito perto do fio em relação ao comprimento total do fio ( 0{,}15\\ \mathrm{m} versus 100{,}0\\ \mathrm{m}). Se fosse necessário maior precisão para um fio relativamente curto, deveríamos usar a expressão completa obtida por Biot–Savart para um segmento finito, mas não é o caso pedido.

Resposta

I=1{,}5\times10^{3}\\ \mathrm{A}

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