Um elétron está se movendo como uma partícula livre na direção
com momento que tem magnitude
. Qual é a função de onda unidimensional dependente do tempo do elétron?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um elétron que está se movendo como uma partícula livre na direção
com um certo momento. O que a gente precisa descobrir é a função de onda unidimensional dependente do tempo desse elétron. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre partículas livres e funções de onda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função de onda de uma partícula livre pode ser expressa como uma onda plana. A fórmula geral para a função de onda é:
Aqui,
é uma constante de normalização,
é o número de onda, e
é a frequência angular.
Passo 3
Precisamos encontrar o número de onda
. Sabemos que o momento
está relacionado ao número de onda pela fórmula:
Onde
é a constante de Planck reduzida, que vale aproximadamente
. Vamos isolar
:
Passo 4
Substituindo o valor do momento dado:
Então,
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a frequência angular
. Ela está relacionada à energia
pela fórmula:
E a energia de uma partícula livre é dada por:
Onde
é a massa do elétron, que é aproximadamente
.
Passo 6
Calculando a energia
:
Passo 7
Agora, calculamos
:
Passo 8
Finalmente, substituímos
e
na expressão da função de onda:
Resposta
A função de onda unidimensional dependente do tempo do elétron é: