Um elétron está se movendo como uma partícula livre na direção -x com momento que tem magnitude 4,50 times 10^-24 kg cdot m / s. Qual é a função de onda unidimensional dependente do tempo do elétron?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um elétron que está se movendo como uma partícula livre na direção -x com um certo momento. O que a gente precisa descobrir é a função de onda unidimensional dependente do tempo desse elétron. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre partículas livres e funções de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função de onda de uma partícula livre pode ser expressa como uma onda plana. A fórmula geral para a função de onda é:
Psi(x, t) = A e^i(kx - omega t)
Aqui, A é uma constante de normalização, k é o número de onda, e omega é a frequência angular.

Passo 3

Precisamos encontrar o número de onda k. Sabemos que o momento p está relacionado ao número de onda pela fórmula:
p = hbar k
Onde hbar é a constante de Planck reduzida, que vale aproximadamente 1,054 times 10^-34 , J cdot s. Vamos isolar k:
k = phbar

Passo 4

Substituindo o valor do momento dado:
p = 4,50 times 10^-24 , kg cdot m/s
Então,
k = 4,50 times 10^-241,054 times 10^-34 approx 4,27 times 10^10 , m^-1

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a frequência angular omega. Ela está relacionada à energia E pela fórmula:
omega = Ehbar
E a energia de uma partícula livre é dada por:
E = p^22m
Onde m é a massa do elétron, que é aproximadamente 9,11 times 10^-31 , kg.

Passo 6

Calculando a energia E:
E = (4,50 times 10^-24)^22 times 9,11 times 10^-31 approx 1,12 times 10^-16 , J

Passo 7

Agora, calculamos omega:
omega = 1,12 times 10^-161,054 times 10^-34 approx 1,06 times 10^18 , rad/s

Passo 8

Finalmente, substituímos k e omega na expressão da função de onda:
Psi(x, t) = A e^i(4,27 times 10^10 , x - 1,06 times 10^18 , t)

Resposta

A função de onda unidimensional dependente do tempo do elétron é:
Psi(x, t) = A , e^i(4,27 times 10^10 , x - 1,06 times 10^18 , t)

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