Um elétron está se movendo com uma velocidade de 8,00 \times 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Qual é a velocidade de um próton que tem o mesmo comprimento de onda de De Broglie que esse elétron?

Passo 1

O enunciado dá claramente:
  • Velocidade do elétron: v_e = 8,00 \times 10^{6}\\ \mathrm{m/s}.
  • Pede: encontrar a velocidade do próton v_p tal que o próton tenha o mesmo comprimento de onda de De Broglie que esse elétron.
Informações úteis que vamos usar (valores numéricos que vou empregar):
  • Constante de Planck: h = 6,62607015 \times 10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
  • Massa do elétron: m_e = 9,10938356 \times 10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
  • Massa do próton: m_p = 1,67262192369 \times 10^{-27}\\ \mathrm{kg}.

Passo 2

Relembrando a ideia física (aula rápida e prática):
  • De Broglie propôs que partículas com momento p têm comprimento de onda
\lambda = \frac{h}{p}.
Aqui h é a constante de Planck e p é o momento linear da partícula (unidade \mathrm{kg\cdot m/s}).
  • Para velocidades muito menores que a da luz (regime não relativístico), o momento é dado por
p = m v,
onde m é a massa da partícula e v sua velocidade.
Vamos verificar se podemos usar p=mv (ou seja, se o caso é não relativístico). Para o elétron
\frac{v_e}{c} = \frac{8,00 \times 10^{6}}{2,998\times10^{8}} \approx 0,0267,
ou seja, cerca de 2{,}7\% da velocidade da luz — isso é suficientemente pequeno para usar a expressão clássica p=mv. Para o próton o resultado será ainda menor, então a aproximação é válida.

Passo 3

Se os comprimentos de onda são iguais, então as partículas têm o mesmo momento (porque \lambda = h/p implica p\propto 1/\lambda). Logo:
p_e = p_p \quad\Rightarrow\quad m_e v_e = m_p v_p.
Isolando v_p obtemos a relação direta que usaremos na conta da prova:
v_p = \frac{m_e}{m_p}\,v_e.
Explicação do que está ocorrendo: como o próton é muito mais massivo que o elétron, para ter o mesmo momento (e portanto o mesmo \lambda) ele precisa de uma velocidade muito menor; a razão é exatamente a razão entre as massas.

Passo 4

Agora aplicamos números passo a passo (mostrando as contas que dá para fazer na prova sem calculadora, embora aqui eu use valores com mais casas para precisão):
Calcular a razão das massas:
\frac{m_e}{m_p}=\frac{9,10938356\times10^{-31}}{1,67262192369\times10^{-27}} \approx 5,44617021\times10^{-4}.
Multiplicando por v_e:
v_p = \left(5,44617021\times10^{-4}\right)\left(8,00\times10^{6}\right) \approx 4,35693617\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando com base nas algarismos significativos de v_e (três algarismos significativos), fica prático escrever
v_p \approx 4,36\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Comentários finais didáticos e motivadores:
  • Interpretação: o próton precisa ter velocidade da ordem de alguns quilômetros por segundo para ter o mesmo \lambda que um elétron que se move a 8,00\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}.
  • Checagem da consistência: v_p é muito pequeno comparado a c, então a fórmula clássica p=mv é válida e o procedimento está correto.
  • Dica para a prova: ao ver “mesmo comprimento de onda de De Broglie”, imediatamente escreva \lambda=\dfrac{h}{p} e iguale os momentos; com massas conhecidas a relação v_p=(m_e/m_p)\,v_e cai direto — memorizando isso você economiza tempo.

Resposta

4,36\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}

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