Um elétron está se movendo com uma velocidade de
. Qual é a velocidade de um próton que tem o mesmo comprimento de onda de De Broglie que esse elétron?
Passo 1
O enunciado dá claramente:
- Velocidade do elétron:
. - Pede: encontrar a velocidade do próton
tal que o próton tenha o mesmo comprimento de onda de De Broglie que esse elétron.
Informações úteis que vamos usar (valores numéricos que vou empregar):
- Constante de Planck:
. - Massa do elétron:
. - Massa do próton:
.
Passo 2
Relembrando a ideia física (aula rápida e prática):
- De Broglie propôs que partículas com momento
têm comprimento de onda
Aqui
é a constante de Planck e
é o momento linear da partícula (unidade
).
- Para velocidades muito menores que a da luz (regime não relativístico), o momento é dado por
onde
é a massa da partícula e
sua velocidade.
Vamos verificar se podemos usar
(ou seja, se o caso é não relativístico). Para o elétron
ou seja, cerca de
da velocidade da luz — isso é suficientemente pequeno para usar a expressão clássica
. Para o próton o resultado será ainda menor, então a aproximação é válida.
Passo 3
Se os comprimentos de onda são iguais, então as partículas têm o mesmo momento (porque
implica
). Logo:
Isolando
obtemos a relação direta que usaremos na conta da prova:
Explicação do que está ocorrendo: como o próton é muito mais massivo que o elétron, para ter o mesmo momento (e portanto o mesmo
) ele precisa de uma velocidade muito menor; a razão é exatamente a razão entre as massas.
Passo 4
Agora aplicamos números passo a passo (mostrando as contas que dá para fazer na prova sem calculadora, embora aqui eu use valores com mais casas para precisão):
Calcular a razão das massas:
Multiplicando por
:
Arredondando com base nas algarismos significativos de
(três algarismos significativos), fica prático escrever
Passo 5
Comentários finais didáticos e motivadores:
- Interpretação: o próton precisa ter velocidade da ordem de alguns quilômetros por segundo para ter o mesmo
que um elétron que se move a . - Checagem da consistência:
é muito pequeno comparado a , então a fórmula clássica é válida e o procedimento está correto. - Dica para a prova: ao ver “mesmo comprimento de onda de De Broglie”, imediatamente escreva
e iguale os momentos; com massas conhecidas a relação cai direto — memorizando isso você economiza tempo.