Problema 6 (2 pts): a) Uma esfera oca e homogênea, de massa m e raio R, desce rolando um plano inclinado de um ângulo \theta, sem deslizar. Determine a força de atrito e a aceleração do centro de massa. Adote para translação o eixo positivo como apontando plano acima e para rotação o positivo no sentido anti horário.
b) Se no lugar da bola maciça tivéssemos uma esfera ou o cilindro maciço, todos com mesma massa e mesmo raio, eles chegariam no solo ao mesmo tempo? Justifique sua resposta. Adote para a esfera oca I=\frac{2}{3} M R^{2}.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, e fixar as convenções de sinal (isso evita confusão depois).
Dado: uma esfera oca homogênea de massa m e raio R desce rolando sem deslizar por um plano inclinado de ângulo \theta.
Dado: momento de inércia da esfera oca \displaystyle I=\frac{2}{3}mR^{2}.
Convenções (pedidas no enunciado):
Eixo de translação ao longo do plano com sentido positivo apontando para cima do plano.
Sentido positivo de rotação é anti-horário (counterclockwise).
O que se pede em (a):
Determinar a força de atrito (módulo e sentido, representada pela variável f) e a aceleração do centro de massa (variável a), usando as convenções acima.
O que se pede em (b):
Se, substituindo a esfera oca por (i) uma esfera maciça e (ii) um cilindro maciço, todos com mesma m e R, eles chegam ao solo ao mesmo tempo? Justificar.
Passo 2
Descrever as forças e a condição de rolamento sem deslizar (a física básica por trás do problema).
Forças no corpo (eixos ao longo do plano, positivo para cima):
Componente do peso paralela ao plano: \displaystyle -mg\sin\theta (negativa porque aponta para baixo do plano).
Força de atrito estático f (direção desconhecida a priori; positiva se apontar para cima do plano).
Força normal e peso perpendicular ao plano não contribuem na direção do movimento.
Natureza do atrito: é atrito estático porque não há deslizamento; sua função é fornecer o torque que faz a esfera girar.
Condição de rolamento sem deslizar (relação entre aceleração de translação a e aceleração angular \alpha):
A velocidade de translação do centro e a velocidade de rotação estão ligadas por v_{\rm cm}=R\omega, e diferenciando no tempo obtemos a relação entre as acelerações lineares e angulares.
Usando as convenções de sinal adotadas (positivo rotação anti-horário), a condição de não deslize relaciona deslocamentos/velocidades e, em termos de acelerações, vale
a = \alpha R,onde a e \alpha podem ser positivos ou negativos conforme as convenções. (Essa fórmula já incorpora o sinal: se a for negativa (descendo o plano) então \alpha será negativa — rotação horário.)
Passo 3
Equação de movimento de translação (segunda lei de Newton) ao longo do plano.
A segunda lei na direção do plano (positivo para cima) é
m a = \sum F_{\parallel} = -mg\sin\theta + f.
Explicação: -mg\sin\theta é a componente do peso para baixo (logo com sinal negativo) e f é a força de atrito (positiva se para cima). Essa é a equação que liga a e f.
Passo 4
Equação de rotação (torque) em torno do centro de massa e sinal do torque.
O único torque que causa rotação útil é o torque do atrito (o peso aplicado no centro não produz torque sobre o centro).
Precisamos analisar o sinal do torque dado o sentido positivo de rotação (anti-horário). Se o corpo tende a rolar para baixo do plano (o que realmente acontece), a esfera gira no sentido horário — ou seja, a aceleração angular \alpha é negativa. A força de atrito, para permitir o rolamento sem deslizar, aponta para cima do plano (vamos confirmar isso no resultado), e essa força aplicada no ponto de contato produz um torque que é no sentido anti-horário ou horário? Com as convenções adotadas, a força de atrito para cima produz um torque que tende a girar a esfera no sentido anti-horário (positivo). Porém, como a esfera está realmente girando horário (negativo), o sinal correto na equação do torque fica consistente ao escrever:
- fR = I \alpha.
Justificação do sinal: o membro esquerdo -fR indica que, com forças/êxitos orientados conforme as convenções, o torque efetivo do atrito sobre o sentido positivo de rotação é negativo quando o corpo acelera no sentido horário. Essa escrita garante a consistência com a relação de rolamento a seguir.
Usando a condição de rolamento sem deslizar a=\alpha R, podemos substituir \alpha = \dfrac{a}{R} na equação do torque e obter uma relação entre f e a:
- fR = I\left(\dfrac{a}{R}\right)\quad\Longrightarrow\quad f = -\dfrac{I}{R^{2}}\,a.
Comentário didático: se a for negativo (o centro acelerando para baixo), o RHS é positivo e então f>0, isto é, o atrito aponta para cima do plano — isso concorda com a intuição física: o atrito estático atua para cima, reduzindo a tendência de deslizamento e fornecendo o torque que aumenta a rotação.
Passo 5
Combinar as equações de translação e rotação para achar a e f (procedimento algébrico geral para qualquer corpo com momento I).
Reescrevendo as duas equações:
Translação: \displaystyle m a = -mg\sin\theta + f.
Rotação: \displaystyle f = -\dfrac{I}{R^{2}}\,a.
Substituir (2) em (1):
m a = -mg\sin\theta -\dfrac{I}{R^{2}}\,a.
Colocar os termos com a do mesmo lado:
a\left(m+\dfrac{I}{R^{2}}\right) = -mg\sin\theta.
Isolando a:
a = -\dfrac{mg\sin\theta}{\,m+\dfrac{I}{R^{2}}\,} = -\dfrac{g\sin\theta}{\,1+\dfrac{I}{mR^{2}}\,}.
Essa é a fórmula geral (observe que o sinal negativo indica aceleração no sentido negativo do eixo escolhido, isto é, para baixo do plano).
Agora para a força de atrito, usar f = -\dfrac{I}{R^{2}}a. Substituindo a:
f = -\dfrac{I}{R^{2}}\left(-\dfrac{g\sin\theta}{1+\dfrac{I}{mR^{2}}}\right) = \dfrac{I}{R^{2}}\cdot\dfrac{g\sin\theta}{1+\dfrac{I}{mR^{2}}}.
Colocar em forma mais simples definindo k=\dfrac{I}{mR^{2}}:
a = -\dfrac{g\sin\theta}{1+k},\qquad f = mg\sin\theta\cdot\dfrac{k}{1+k}.
Interpretação: a aponta para baixo do plano (sinal negativo) e |a|=\dfrac{g\sin\theta}{1+k}. A força de atrito é positiva (para cima do plano) e tem módulo mg\sin\theta\cdot\dfrac{k}{1+k}.
Passo 6
Aplicar ao caso específico da esfera oca com I=\dfrac{2}{3}mR^{2} (calcular k, a e f numéricos em frações).
Para a esfera oca:
k=\dfrac{I}{mR^{2}}=\dfrac{2}{3}.
Aceleração (usando a fórmula):
a = -\dfrac{g\sin\theta}{1+\tfrac{2}{3}} = -\dfrac{g\sin\theta}{\tfrac{5}{3}} = -\dfrac{3}{5}\,g\sin\theta.
Força de atrito:
f = mg\sin\theta\cdot\dfrac{\tfrac{2}{3}}{1+\tfrac{2}{3}} = mg\sin\theta\cdot\dfrac{\tfrac{2}{3}}{\tfrac{5}{3}} = mg\sin\theta\cdot\dfrac{2}{5} = \dfrac{2}{5}\,mg\sin\theta.
Interpretação dos sinais (recapitulando com as convenções):
a=-\dfrac{3}{5}g\sin\theta significa que o centro de massa acelera para baixo do plano com magnitude \dfrac{3}{5}g\sin\theta.
f=\dfrac{2}{5}mg\sin\theta>0 indica que a força de atrito aponta para cima do plano e seu módulo é \dfrac{2}{5}mg\sin\theta.
Passo 7
Responder (b): comparar tempos de chegada (ou, equivalentemente, comparar acelerações) entre esfera oca, esfera maciça e cilindro maciço (todos com mesma m e R) e justificar fisicamente.
Fórmula útil (já obtida): magnitude da aceleração para descida = \dfrac{g\sin\theta}{1+k} com k=\dfrac{I}{mR^{2}}.
Logo, não, eles não chegam ao solo ao mesmo tempo. A esfera maciça chega primeiro, depois o cilindro maciço, e por último a esfera oca.
Justificativa física simples e intuitiva: corpos com menor fração de energia armazenada na rotação (isto é, menor k=I/(mR^{2})) transferem mais da energia potencial para energia de translação e menos para rotação; portanto sua aceleração de translação é maior e chegam antes. A massa concentrada mais perto do eixo (menor momento de inércia) favorece maior aceleração de translação.
Resposta
(a) \displaystyle f=\dfrac{2}{5}\,mg\sin\theta (apontando para cima do plano); \displaystyle a=-\dfrac{3}{5}\,g\sin\theta (ou seja, aceleração para baixo do plano de magnitude \dfrac{3}{5}g\sin\theta).
(b) Não. As acelerações são \displaystyle a_{\rm esfera\\ macissa}=\dfrac{5}{7}g\sin\theta, \displaystyle a_{\rm cilindro}=\dfrac{2}{3}g\sin\theta, \displaystyle a_{\rm esfera\\ oca}=\dfrac{3}{5}g\sin\theta. Portanto a esfera maciça chega primeiro, depois o cilindro, e por último a esfera oca.