Problema 4 (2 pts):
Suponha agora que o cilindro seja oco, ou seja, toda a massa está concentrada apenas em sua superfície, com a mesma massa e o mesmo raio do item a) e gire em torno de um eixo que passa sobre a sua superfície lateral, paralelo a ela, qual o momento de inércia desta configuração configuração?
Suponha agora que o cilindro seja oco, ou seja, toda a massa está concentrada apenas em sua superfície, com a mesma massa e o mesmo raio do item a) e gire em torno de um eixo que passa sobre a sua superfície lateral, paralelo a ela, qual o momento de inércia desta configuração configuração?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede. Peguei do enunciado que:
- A massa total do cilindro vale
. - O raio do cilindro vale
. - O cilindro é oco com toda a massa concentrada apenas na sua superfície lateral (ou seja, é um casco cilíndrico fino).
- O eixo de rotação é paralelo ao eixo do cilindro (ou seja, paralelo ao comprimento) e passa sobre a superfície lateral do cilindro — isto é, é um eixo tangente ao cilindro, à distância
do eixo central.
O enunciado pede: calcular o momento de inércia do cilindro nessa configuração (momento de inércia em relação ao eixo tangente descrito).
Passo 2
Entender a distribuição de massa e o momento de inércia em relação ao eixo central (antes de deslocar o eixo). Como a massa está toda na superfície lateral de um cilindro fino, todos os elementos de massa estão à mesma distância
do eixo central (eixo coaxial do cilindro). O momento de inércia em relação ao eixo central do cilindro (eixo que passa pelo centro e é paralelo ao comprimento) é definido por
onde
é a distância de cada elemento de massa
ao eixo considerado. Aqui
para todo
, logo
Portanto
Explicação verbal: para um casulo cilíndrico fino, toda a massa está a distância
do eixo central, então o momento de inércia é simplesmente
vezes
.
Passo 3
Quando queremos o momento de inércia em relação a um eixo paralelo deslocado do eixo central por uma distância
, usamos o teorema dos eixos paralelos (teorema de Steiner). O enunciado do teorema é:
onde
é o momento de inércia em relação ao eixo deslocado,
é o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centro de massa e paralelo,
é a massa total e
é a distância entre os eixos. Intuição rápida: ao deslocar o eixo, cada elemento de massa ganha um acréscimo de distância em média, e o termo
representa esse acréscimo coletivo.
Passo 4
Aplicar o teorema ao caso: o eixo tangente está a uma distância
do eixo central (peguei isso do enunciado: o eixo passa sobre a superfície lateral). Substituindo:
Passo 5
Verificação rápida de consistência: as unidades ficam de
, e o valor é maior que
como esperado (deslocar o eixo costuma aumentar o momento de inércia). Tudo coerente.