Problema 4 (2 pts):
Suponha agora que o cilindro seja oco, ou seja, toda a massa está concentrada apenas em sua superfície, com a mesma massa e o mesmo raio do item a) e gire em torno de um eixo que passa sobre a sua superfície lateral, paralelo a ela, qual o momento de inércia desta configuração configuração?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede. Peguei do enunciado que:
  • A massa total do cilindro vale M.
  • O raio do cilindro vale R.
  • O cilindro é oco com toda a massa concentrada apenas na sua superfície lateral (ou seja, é um casco cilíndrico fino).
  • O eixo de rotação é paralelo ao eixo do cilindro (ou seja, paralelo ao comprimento) e passa sobre a superfície lateral do cilindro — isto é, é um eixo tangente ao cilindro, à distância R do eixo central.
O enunciado pede: calcular o momento de inércia do cilindro nessa configuração (momento de inércia em relação ao eixo tangente descrito).

Passo 2

Entender a distribuição de massa e o momento de inércia em relação ao eixo central (antes de deslocar o eixo). Como a massa está toda na superfície lateral de um cilindro fino, todos os elementos de massa estão à mesma distância R do eixo central (eixo coaxial do cilindro). O momento de inércia em relação ao eixo central do cilindro (eixo que passa pelo centro e é paralelo ao comprimento) é definido por
I_{\text{cm}}=\int r^{2}\,dm,
onde r é a distância de cada elemento de massa dm ao eixo considerado. Aqui r=R para todo dm, logo
I_{\text{cm}}= \int R^{2}\,dm = R^{2}\int dm = R^{2}M.
Portanto
I_{\text{cm}}=M R^{2}.
Explicação verbal: para um casulo cilíndrico fino, toda a massa está a distância R do eixo central, então o momento de inércia é simplesmente M vezes R^{2}.

Passo 3

Quando queremos o momento de inércia em relação a um eixo paralelo deslocado do eixo central por uma distância d, usamos o teorema dos eixos paralelos (teorema de Steiner). O enunciado do teorema é:
I = I_{\text{cm}} + M d^{2},
onde I é o momento de inércia em relação ao eixo deslocado, I_{\text{cm}} é o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centro de massa e paralelo, M é a massa total e d é a distância entre os eixos. Intuição rápida: ao deslocar o eixo, cada elemento de massa ganha um acréscimo de distância em média, e o termo M d^{2} representa esse acréscimo coletivo.

Passo 4

Aplicar o teorema ao caso: o eixo tangente está a uma distância d=R do eixo central (peguei isso do enunciado: o eixo passa sobre a superfície lateral). Substituindo:
I = I_{\text{cm}} + M d^{2} = M R^{2} + M R^{2} = 2 M R^{2}.

Passo 5

Verificação rápida de consistência: as unidades ficam de \text{kg}\cdot\text{m}^{2}, e o valor é maior que I_{\text{cm}} como esperado (deslocar o eixo costuma aumentar o momento de inércia). Tudo coerente.

Resposta

\;I = 2 M R^{2}

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