Considere uma barra de seção reta retangular, de lados a e b, e comprimento l. Essa barra é feita de um material dielétrico de permissividade \epsilon, e possui uma polarização \vec{P}(\vec{r})=P_{0} z^{2} \widehat{k}, onde P_{0}>0. Encontre a densidade de carga de polarização e a carga total de polarização.

Passo 1

O enunciado nos dá uma barra de seção retangular de lados \,a e \,b e comprimento \,l. A barra é feita de um dielétrico com permissividade \,\epsilon e tem polarização espacial
\vec{P}(\vec{r}) = P_{0}\, z^{2}\,\widehat{k},
com P_{0}>0.\n
As perguntas que vamos responder são:
  • Encontrar a densidade de carga de polarização (isto é, a densidade de carga ligada associada à polarização).
  • Encontrar a carga total de polarização (carga ligada total da barra).

Passo 2

Primeiro vamos lembrar as fórmulas fundamentais para cargas ligadas (polarização). Há duas quantidades importantes:
  1. Densidade volumétrica de carga ligada (também chamada densidade de carga de polarização), dada por
\rho_{b} = -\nabla\!\cdot\!\vec{P},
onde \rho_{b} é a carga ligada por unidade de volume e \nabla\!\cdot\! é o divergente do campo vetorial.
Explanação rápida do divergente: para um campo vetorial \vec{F}=(F_x,F_y,F_z) em coordenadas cartesianas,
\nabla\!\cdot\!\vec{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}.
No nosso caso \vec{P} só tem componente na direção \widehat{k} (e depende só de z), então apenas a derivada parcial em z entra.
  1. Densidade superficial de carga ligada numa superfície com normal unitário \widehat{n} é
\sigma_{b}=\vec{P}\cdot\widehat{n}.
Isto vale para cada face da barra onde exista uma superfície externa: as faces perpendiculares a \widehat{k} (as extremidades z=0 e z=l) e as faces laterais (normais em \pm\widehat{i} e \pm\widehat{j}).
Além disso, para achar a carga total ligada podemos somar a contribuição volumétrica e a contribuição superficial:
Q_{\text{total}} = \int_{V}\rho_{b}\,dV + \int_{\partial V}\sigma_{b}\,dA,
onde \partial V é a superfície externa do sólido. Uma observação útil (identidade do teorema da divergência) é que
\int_{V} (-\nabla\!\cdot\!\vec{P})\,dV = -\oint_{\partial V}\vec{P}\cdot d\vec{A} = -\oint_{\partial V}\vec{P}\cdot\widehat{n}\,dA,
daí a soma das duas partes frequentemente se anula — veremos isso explicitamente.

Passo 3

Calcular a densidade volumétrica \rho_{b}.
Temos \vec{P}=(0,0,P_{0}z^{2}). Então
\nabla\!\cdot\!\vec{P}=\frac{\partial}{\partial x}(0)+\frac{\partial}{\partial y}(0)+\frac{\partial}{\partial z}(P_{0}z^{2})=2P_{0}z.
Portanto, pela fórmula,
\rho_{b} = -\nabla\!\cdot\!\vec{P} = -2P_{0}z.
Interpretação: a densidade volumétrica de carga ligada varia linearmente com z (negativa quando z>0 porque P_{0}>0), e está presente em todo o volume da barra.

Passo 4

Calcular a densidade superficial \sigma_{b} nas faces exteriores.
A barra tem seis faces. Como \vec{P} aponta apenas para \widehat{k}, para as faces laterais (normais em \pm\widehat{i} e \pm\widehat{j}) tem-se \vec{P}\cdot\widehat{n}=0. Restam as duas extremidades em z=0 e z=l.
  • Na face superior em z=l: o vetor normal externo é \widehat{n}=+\widehat{k}. Aí
\sigma_{b}(z=l)=\vec{P}(z=l)\cdot\widehat{k}=P_{0}l^{2}.
  • Na face inferior em z=0: o vetor normal externo é \widehat{n}=-\widehat{k}. Aí
\sigma_{b}(z=0)=\vec{P}(z=0)\cdot(-\widehat{k}) = -P_{0}\cdot 0^{2}=0.
Resumo: apenas a face superior (em z=l) carrega densidade superficial ligada \sigma_{b}=P_{0}l^{2}; as demais faces têm \sigma_{b}=0.

Passo 5

Calcular a carga volumétrica total Q_{\text{vol}} integrando \rho_{b} sobre o volume.
O volume da barra é o produto da área da seção reta A=a b pelo comprimento l. Escrevendo a integral explicitamente (usar coordenadas cartesianas, x de -a/2 a a/2, y de -b/2 a b/2, z de 0 a l):
Q_{\text{vol}}=\int_{V}\rho_{b}\,dV = \int_{0}^{l}\int_{-b/2}^{b/2}\int_{-a/2}^{a/2}(-2P_{0}z)\,dx\,dy\,dz.
As integrais em x e y apenas multiplicam pela área ab, então
Q_{\text{vol}} = (-2P_{0}ab)\int_{0}^{l} z\,dz = (-2P_{0}ab)\cdot\frac{l^{2}}{2} = -P_{0}ab\,l^{2}.

Passo 6

Calcular a carga superficial total Q_{\text{surf}} integrando \sigma_{b} sobre as superfícies.
Só a face em z=l contribui, com área ab e \sigma_{b}=P_{0}l^{2}, logo
Q_{\text{surf}} = P_{0}l^{2}\cdot ab = P_{0}ab\,l^{2}.

Passo 7

Somar as contribuições para obter a carga ligada total.
Q_{\text{total}} = Q_{\text{vol}} + Q_{\text{surf}} = (-P_{0}ab\,l^{2}) + (P_{0}ab\,l^{2}) = 0.
Isto confirma a identidade prevista pelo teorema da divergência: a carga ligada total de um corpo finito pode ser zero se o fluxo de \vec{P} pelas superfícies cancela a carga volumétrica gerada pelo divergente.

Passo 8

Comentário físico e incentivo: a densidade volumétrica \rho_{b}=-2P_{0}z mostra que existe uma distribuição contínua de cargas ligadas ao longo do comprimento, negativa para z>0 (com magnitude proporcional a z). Essas cargas volumétricas são exatamente compensadas pela carga positiva acumulada na face superior z=l. No exame, proceda sempre calculando primeiro \nabla\!\cdot\!\vec{P} para a densidade volumétrica e depois verifique superfícies onde \vec{P} tem componente normal para encontrar \sigma_{b}. Vai dar certo — força aí!

Resposta

Densidade volumétrica de carga de polarização: \rho_{b}=-2P_{0}z\n
Densidade superficial nas faces: \sigma_{b}(z=l)=P_{0}l^{2}, \sigma_{b}(z=0)=0 e \sigma_{b}=0 nas faces laterais\n
Carga total de polarização: Q_{\text{total}}=0

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