Considere uma barra de seção reta retangular, de lados
e
, e comprimento
. Essa barra é feita de um material dielétrico de permissividade
, e possui uma polarização
, onde
. Encontre a densidade de carga de polarização e a carga total de polarização.
Passo 1
O enunciado nos dá uma barra de seção retangular de lados
e
e comprimento
. A barra é feita de um dielétrico com permissividade
e tem polarização espacial
com
.\n
As perguntas que vamos responder são:
As perguntas que vamos responder são:
- Encontrar a densidade de carga de polarização (isto é, a densidade de carga ligada associada à polarização).
- Encontrar a carga total de polarização (carga ligada total da barra).
Passo 2
Primeiro vamos lembrar as fórmulas fundamentais para cargas ligadas (polarização). Há duas quantidades importantes:
- Densidade volumétrica de carga ligada (também chamada densidade de carga de polarização), dada por
onde
é a carga ligada por unidade de volume e
é o divergente do campo vetorial.
Explanação rápida do divergente: para um campo vetorial
em coordenadas cartesianas,
No nosso caso
só tem componente na direção
(e depende só de
), então apenas a derivada parcial em
entra.
- Densidade superficial de carga ligada numa superfície com normal unitário
é
Isto vale para cada face da barra onde exista uma superfície externa: as faces perpendiculares a
(as extremidades
e
) e as faces laterais (normais em
e
).
Além disso, para achar a carga total ligada podemos somar a contribuição volumétrica e a contribuição superficial:
onde
é a superfície externa do sólido. Uma observação útil (identidade do teorema da divergência) é que
daí a soma das duas partes frequentemente se anula — veremos isso explicitamente.
Passo 3
Calcular a densidade volumétrica
.
Temos
. Então
Portanto, pela fórmula,
Interpretação: a densidade volumétrica de carga ligada varia linearmente com
(negativa quando
porque
), e está presente em todo o volume da barra.
Passo 4
Calcular a densidade superficial
nas faces exteriores.
A barra tem seis faces. Como
aponta apenas para
, para as faces laterais (normais em
e
) tem-se
. Restam as duas extremidades em
e
.
- Na face superior em
: o vetor normal externo é . Aí
- Na face inferior em
: o vetor normal externo é . Aí
Resumo: apenas a face superior (em
) carrega densidade superficial ligada
; as demais faces têm
.
Passo 5
Calcular a carga volumétrica total
integrando
sobre o volume.
O volume da barra é o produto da área da seção reta
pelo comprimento
. Escrevendo a integral explicitamente (usar coordenadas cartesianas,
de
a
,
de
a
,
de
a
):
As integrais em
e
apenas multiplicam pela área
, então
Passo 6
Calcular a carga superficial total
integrando
sobre as superfícies.
Só a face em
contribui, com área
e
, logo
Passo 7
Somar as contribuições para obter a carga ligada total.
Isto confirma a identidade prevista pelo teorema da divergência: a carga ligada total de um corpo finito pode ser zero se o fluxo de
pelas superfícies cancela a carga volumétrica gerada pelo divergente.
Passo 8
Comentário físico e incentivo: a densidade volumétrica
mostra que existe uma distribuição contínua de cargas ligadas ao longo do comprimento, negativa para
(com magnitude proporcional a
). Essas cargas volumétricas são exatamente compensadas pela carga positiva acumulada na face superior
. No exame, proceda sempre calculando primeiro
para a densidade volumétrica e depois verifique superfícies onde
tem componente normal para encontrar
. Vai dar certo — força aí!
Resposta
Densidade volumétrica de carga de polarização:
\n
Densidade superficial nas faces: ,
e
nas faces laterais\n
Carga total de polarização:
Densidade superficial nas faces:
Carga total de polarização: