A partir de uma relação de incerteza, mostre que as oscilações de um circuito LC, excitado por uma tensão eficaz de 1 m V, no qual L=3 m H e C=4,7 m F, podem ser descritas pelo Eletromagnetismo Clássico.

Passo 1

O enunciado pede que eu mostre, usando uma relação de incerteza/quântico-clássica, que as oscilações de um circuito LC excitado por uma tensão eficaz de 1\\ \mathrm{mV} podem ser descritas pelo Eletromagnetismo Clássico. Dados fornecidos:
L = 3\\ \mathrm{mH} = 3\times10^{-3}\\ \mathrm{H},
C = 4{,}7\\ \mathrm{mF} = 4{,}7\times10^{-3}\\ \mathrm{F},
V_{\text{ef}} = 1\\ \mathrm{mV} = 1\times10^{-3}\\ \mathrm{V}.
O objetivo é comparar a energia clássica armazenada no oscilador com a escala quântica típica ( \hbar\omega) e concluir se podemos usar a descrição clássica. Aqui identifiquei o que é pedido e todos os valores numéricos dados. Não vou resolver ainda; apenas listei as informações relevantes.

Passo 2

Vou explicar as fórmulas físicas que precisamos (aula curta e concreta).
  • Um circuito LC sem perdas é análogo a um oscilador harmônico. Sua pulsação natural é
\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}.
Aqui \omega tem unidade de rad/s; L é indutância (H) e C é capacitância (F).
  • A energia máxima armazenada no capacitor (ou no indutor) numa oscilação senoidal de amplitude de pico V_p é
E_{\text{cl}} = \frac{1}{2}\,C\,V_p^{2}.
Essa é a energia clássica total do oscilador (porque, num ciclo, energia troca entre capacitor e indutor).
  • Relação entre tensão eficaz (RMS) e tensão de pico para uma senóide:
V_p = \sqrt{2}\,V_{\text{ef}}.
Explico: V_{\text{ef}}=\dfrac{V_p}{\sqrt{2}} é a definição usual para sinais senoidais.
  • Critério quântico-clássico útil: o quantum de energia associado a uma oscilação é aproximadamente \hbar\omega (energia de um “fóton” do modo), e o oscilador quântico tem energia mínima E_0=\dfrac{1}{2}\hbar\omega. Se a energia clássica E_{\text{cl}} é muito maior que \hbar\omega (ou que E_0), então o número médio de quanta n\approx E_{\text{cl}}/(\hbar\omega) é grande e as flutuações quânticas são desprezíveis: descrição clássica válida. Essa comparação é o uso prático da “relação de incerteza” e da quantização do oscilador harmônico para decidir regime clássico vs quântico.

Passo 3

Calculo a pulsação \omega.
Primeiro o produto LC:
LC = (3\times10^{-3})(4{,}7\times10^{-3}) = 14{,}1\times10^{-6} = 1{,}41\times10^{-5}\\ \mathrm{s^{2}}.
Agora a raiz:
\sqrt{LC} \approx \sqrt{1{,}41\times10^{-5}} \approx 3{,}75\times10^{-3}\\ \mathrm{s}.
Portanto
\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} \approx \frac{1}{3{,}75\times10^{-3}}\\ \mathrm{s^{-1}} \approx 2{,}67\times10^{2}\\ \mathrm{rad\\ s^{-1}}.
Interpretação: a frequência é baixa, da ordem de algumas dezenas de hertz ( f=\omega/2\pi\approx42{,}5\\ \mathrm{Hz}).

Passo 4

Calculo a energia clássica E_{\text{cl}} fornecida pela tensão eficaz V_{\text{ef}}=1\\ \mathrm{mV}.
Primeiro encontrando o pico:
V_p = \sqrt{2}\,V_{\text{ef}} \approx 1{,}414\times10^{-3}\\ \mathrm{V}.
Quadrado do pico:
V_p^{2} \approx (1{,}414\times10^{-3})^{2} = 2{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{V^{2}}.
Agora a energia:
E_{\text{cl}} = \frac{1}{2}\,C\,V_p^{2} = \frac{1}{2}\times(4{,}7\times10^{-3})\times(2{,}00\times10^{-6}).
Faço as contas passo a passo:
\frac{1}{2}\times 2{,}00\times10^{-6} = 1{,}00\times10^{-6},
E_{\text{cl}} = (4{,}7\times10^{-3})\times(1{,}00\times10^{-6}) = 4{,}7\times10^{-9}\\ \mathrm{J}.
Então a energia clássica disponível nas oscilações é E_{\text{cl}}\approx 4{,}7\times10^{-9}\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Calculo a escala quântica \hbar\omega e comento a relação com a incerteza/quantisamento.
Constante reduzida de Planck: \hbar \approx 1{,}054\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
Então
\hbar\omega \approx (1{,}054\times10^{-34})\times(2{,}67\times10^{2}) \approx 2{,}82\times10^{-32}\\ \mathrm{J}.
O zero-ponto (energia mínima do oscilador quântico) seria E_0=\dfrac{1}{2}\hbar\omega, da mesma ordem de grandeza; para comparar grosseiramente usamos \hbar\omega como escala.
Explicação didática: a “relação de incerteza” energia-tempo dá uma ideia de que a menor “pacote” de energia associado à oscilação tem escala \hbar\omega. Se a energia clássica E_{\text{cl}} contiver muitos desses pacotes (muitos quanta), as flutuações relativas são pequenas e a descrição clássica funciona bem. Quantitativamente avaliamos o número médio de quanta:
n \approx \frac{E_{\text{cl}}}{\hbar\omega}.

Passo 6

Calculo o número de quanta n e comparo:
n \approx \frac{E_{\text{cl}}}{\hbar\omega} \approx \frac{4{,}7\times10^{-9}}{2{,}82\times10^{-32}} \approx 1{,}67\times10^{23}.
Esse valor é enorme: n\sim10^{23}. Significado físico: existem da ordem de 10^{23} quanta de energia ocupando o modo oscilatório — ou seja, regime altamente clássico. Portanto as flutuações quânticas (zero-point, incertezas relativas) são insignificantes frente à energia armazenada.

Passo 7

Conclusão e interpretação final (motivação física e incentivo).
Como E_{\text{cl}}\gg\hbar\omega (relação numérica E_{\text{cl}}/(\hbar\omega)\approx1{,}7\times10^{23}), a dinâmica do circuito LC excitado por 1\\ \mathrm{mV} está em pleno regime clássico. Em termos práticos: você pode usar as equações de Eletromagnetismo Clássico (leis de Kirchhoff, equação diferencial LC, energia clássica \tfrac{1}{2}CV^{2} etc.) sem se preocupar com efeitos quânticos. Força! Esse é o tipo de conta rápida que salva tempo na prova e dá confiança.

Resposta

Sim. E_{\text{cl}}\approx4{,}7\times10^{-9}\\ \mathrm{J}, \hbar\omega\approx2{,}82\times10^{-32}\\ \mathrm{J} e \dfrac{E_{\text{cl}}}{\hbar\omega}\approx1{,}7\times10^{23}, portanto a descrição clássica é válida.

Exercícios relacionados