Um elétron penetra, com uma velocidade inicial de 40 \mathrm{~km} / \mathrm{s}, em uma região na qual existe um campo elétrico uniforme de módulo E=50 N / C, e se move paralelamente ao campo. (a) Qual é a velocidade do elétron 1,5 n s depois de entrar na região? (b) Que distância o elétron percorre nesse intervalo de 1,5 n s ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei estes números do enunciado).
Dados:
  • velocidade inicial do elétron: v_0 = 40\\ \mathrm{km/s}.
  • campo elétrico uniforme: E = 50\\ \mathrm{N/C}.
  • intervalo de tempo: t = 1{,}5\\ \mathrm{ns}.
O enunciado pede:
(a) a velocidade do elétron depois de 1{,}5\\ \mathrm{ns};
(b) a distância percorrida pelo elétron nesse intervalo de 1{,}5\\ \mathrm{ns}.

Passo 2

Converter unidades para o SI e identificar constantes (isso facilita as contas).
  • Converter a velocidade inicial para metros por segundo:
v_0 = 40\\ \mathrm{km/s} = 40{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{m/s} = 4{,}0\times10^{4}\\ \mathrm{m/s}.
  • Converter o tempo para segundos:
t = 1{,}5\\ \mathrm{ns} = 1{,}5\times10^{-9}\\ \mathrm{s}.
  • Constantes do elétron (valores padrões):
e = 1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}\quad\text{(magnitude da carga do elétron)},é
m_e = 9{,}109\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}\quad\text{(massa do elétron)}.é
Explicação física (passo-a-passo didático):
  • Um campo elétrico uniforme exerce uma força sobre uma carga q dada por \mathbf{F}=q\mathbf{E}.
  • Para o elétron, q = -e. Portanto a força é \mathbf{F} = -e\,\mathbf{E}. O sinal negativo indica que a força sobre o elétron é oposta à direção do campo elétrico.
  • A aceleração é dada pela segunda lei de Newton \mathbf{F}=m\mathbf{a}, logo
\mathbf{a}=\frac{\mathbf{F}}{m}=\frac{q\mathbf{E}}{m}.
  • Como o campo é uniforme e a massa constante, a aceleração é constante, de modo que podemos usar as equações do movimento com aceleração constante (cinemática linear).

Passo 3

Calcular a aceleração numérica (atenção ao sinal): a carga do elétron é negativa, então a aceleração tem sinal oposto ao campo. Calcular o valor numérico de a:
a=\frac{qE}{m_e}=\frac{-e\,E}{m_e}=-\frac{1{,}602\times10^{-19}\cdot 50}{9{,}109\times10^{-31}}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Calculemos passo a passo:
1{,}602\times10^{-19}\cdot 50 = 8{,}01\times10^{-18}\\ \mathrm{N},
\frac{8{,}01\times10^{-18}}{9{,}109\times10^{-31}} \approx 8{,}79\times10^{12}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Portanto
a \approx -8{,}79\times10^{12}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Comentário: o sinal negativo indica que a aceleração é contrária à direção inicial do movimento (portanto o elétron está sendo retardado se ia no mesmo sentido do campo).

Passo 4

Calcular a velocidade após o intervalo t usando a equação da cinemática com aceleração constante:
v = v_0 + a\,t.
Substituindo os valores (usar as conversões do Passo 2 e o a do Passo 3):
v = 4{,}0\times10^{4} + \left(-8{,}79\times10^{12}\right)\cdot\left(1{,}5\times10^{-9}\right)\\ \mathrm{m/s}.
Calcule o produto a\,t:
a\,t = -8{,}79\times10^{12}\cdot1{,}5\times10^{-9} = -1{,}3185\times10^{4}\\ \mathrm{m/s}.
Agora a velocidade final:
v = 4{,}0\times10^{4} - 1{,}3185\times10^{4} = 2{,}6815\times10^{4}\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando de forma compatível com os dados (duas algarismos significativos), fica
v \approx 2{,}7\times10^{4}\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: o elétron diminuiu sua velocidade por causa da força contrária; continua se movendo no mesmo sentido (velocidade positiva), apenas mais devagar.

Passo 5

Calcular a distância percorrida no intervalo t. Para aceleração constante, usamos:
\Delta x = v_0 t + \tfrac{1}{2}a t^{2}.
Substituindo valores:
Primeiro calcule v_0 t:
v_0 t = 4{,}0\times10^{4}\cdot 1{,}5\times10^{-9} = 6{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
Depois calcule \tfrac{1}{2}a t^{2}:
\tfrac{1}{2}a t^{2} = \tfrac{1}{2}\left(-8{,}79\times10^{12}\right)\left(1{,}5\times10^{-9}\right)^{2}.
Calcule t^{2} e o termo todo:
t^{2} = \left(1{,}5\times10^{-9}\right)^{2} = 2{,}25\times10^{-18}\\ \mathrm{s^{2}},
\tfrac{1}{2}a t^{2} = 0{,}5\cdot(-8{,}79\times10^{12})\cdot 2{,}25\times10^{-18} = -9{,}8925\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
Somando os dois termos:
\Delta x = 6{,}0\times10^{-5} - 9{,}8925\times10^{-6} = 5{,}01075\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
Arredondando segundo os dados (duas algarismos significativos):
\Delta x \approx 5{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
Como checagem rápida, poderia também usar \Delta x = \tfrac{v_0+v}{2}\,t (média das velocidades vezes o tempo); isso dá o mesmo resultado numérico dentro do arredondamento.

Resposta

v \approx 2{,}7\times10^{4}\\ \mathrm{m/s}
\Delta x \approx 5{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m}

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