Qual é o trabalho necessário para fazer girar de 180^{\circ} um dipolo elétrico em um campo elétrico uniforme de módulo E=46,0 N / C se p=3,02 \times 10^{-25} C . m e o ângulo inicial é 64^{\circ} ?

Passo 1

O enunciado pede o trabalho necessário para girar um dipolo elétrico de 180^\circ num campo elétrico uniforme. As informações fornecidas são:
  • Módulo do campo elétrico: E = 46,0\\ \text{N/C}.
  • Módulo do momento de dipolo: p = 3,02\times10^{-25}\\ \text{C}\cdot\text{m}.
  • Ângulo inicial entre \vec p e \vec E: \theta_i = 64^\circ.
  • Rotação pedida: 180^\circ, ou seja o ângulo final será \theta_f = \theta_i + 180^\circ.
A pergunta é: qual é o trabalho necessário (pelo agente externo) para realizar essa rotação?

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados de forma direta):
  • O momento de dipolo elétrico é um vetor \vec p. O campo elétrico uniforme é \vec E. O ângulo \theta é o ângulo entre \vec p e \vec E.
  • A energia potencial de um dipolo em um campo uniforme é dada por
U(\theta) = -\vec p\cdot\vec E = -pE\cos\theta.
Explicando: aqui U(\theta) é a energia potencial quando o dipolo forma ângulo \theta com o campo; p é o módulo de \vec p e E o módulo de \vec E. O sinal negativo aparece porque a configuração de menor energia é quando \vec p está alignado com \vec E ( \theta=0).
  • O torque (força rotacional) que o campo exerce sobre o dipolo é \vec\tau=\vec p\times\vec E e tem módulo \tau=pE\sin\theta. Não precisamos calcular o torque aqui, só é útil saber que o campo tende a alinhar o dipolo com ele.

Passo 3

Relação trabalho ↔ energia potencial:
  • Se o dipolo é girado lentamente (quase-estático), o trabalho realizado pelo agente externo para ir de \theta_i a \theta_f é igual à variação da energia potencial:
W_{\text{ext}} = U(\theta_f)-U(\theta_i).
Explicando a intuição: se a energia potencial aumenta ao girar, o agente externo tem que fornecer trabalho positivo; se diminui, o campo faz trabalho (o agente externo precisaria fazer trabalho negativo para controlar a rotação).

Passo 4

Aplicando a fórmula com os ângulos dados:
  • Primeiro calcule \theta_f:
\theta_f = \theta_i + 180^\circ = 64^\circ + 180^\circ = 244^\circ.
  • Calcule as energias potenciais:
U(\theta_i) = -pE\cos\theta_i = -pE\cos64^\circ,
U(\theta_f) = -pE\cos\theta_f = -pE\cos244^\circ.
Usamos a identidade trigonométrica \cos(180^\circ+\alpha) = -\cos\alpha. Assim
\cos244^\circ = \cos(180^\circ+64^\circ) = -\cos64^\circ.
Portanto
U(\theta_f) = -pE(-\cos64^\circ) = +pE\cos64^\circ.
  • Agora a variação:
W_{\text{ext}} = U(\theta_f)-U(\theta_i) = pE\cos64^\circ - \big(-pE\cos64^\circ\big) = 2\,pE\cos64^\circ.
Ou seja, a expressão final para o trabalho necessário é
W_{\text{ext}} = 2\,pE\cos64^\circ.

Passo 5

Cálculo numérico passo a passo:
  • Calcule pE:
pE = \big(3,02\times10^{-25}\big)\times(46,0) = 3,02\cdot46,0\times10^{-25} = 138,92\times10^{-25} = 1,3892\times10^{-23}\\ \text{J}.
(As unidades ficam em joule porque 1\\ \text{C}\cdot\text{m}\times1\\ \text{N/C}=1\\ \text{N}\cdot\text{m}=1\\ \text{J}.)
  • Valor de \cos64^\circ:
\cos64^\circ \approx 0,43837.
  • Agora
W_{\text{ext}} = 2\times(1,3892\times10^{-23})\times0,43837.
Primeiro 1,3892\times0,43837 \approx 0,60820, então
W_{\text{ext}} \approx 2\times0,60820\times10^{-23} = 1,2164\times10^{-23}\\ \text{J}.
Arredondando com três algarismos significativos (compatível com os dados),
W_{\text{ext}} \approx 1,22\times10^{-23}\\ \text{J}.

Passo 6

Interpretação curta e encorajamento: o resultado é positivo, então é preciso fornecer essa energia (trabalho) ao sistema para girar o dipolo de 64^\circ até 244^\circ (ou seja, virar 180°). Boa! Você já tem a fórmula geral e o método — na prova, memorize U=-pE\cos\theta e que o trabalho do agente externo é a variação U_f-U_i; com isso aplica direto.

Resposta

1,22\times10^{-23}\\ \text{J}

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