O elétron e o próton de um átomo de hidrogênio estão separados, em média, por uma distância de 5,29 times 10^-11 m. Sendo qe=qp=1,6 times 10^-19 C as cargas do elétron e do próton, respectivamente, mp=1,673 times 10^-27 kg e me=9,109 times 10^-31 kg as massas do próton e do elétron, respectivamente, ou seja, mp gg me (a massa do próton é aproximadamente 1840 vezes a massa do elétron), podemos admitir que o próton permanece praticamente em repouso no sistema inercial situado no centro de massa do átomo. De posse dessas informações, calcule:
A aceleração centrípeta, a velocidade angular, a frequência e a velocidade orbital do elétron.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o átomo de hidrogênio! A gente precisa calcular quatro coisas sobre o elétron que está girando ao redor do próton: a aceleração centrípeta, a velocidade angular, a frequência e a velocidade orbital. Para isso, vamos usar conceitos de física clássica, especialmente das leis de movimento e da força elétrica entre cargas. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o elétron está se movendo em um caminho circular ao redor do próton. Para manter esse movimento, precisa de uma força que puxe o elétron para o centro dessa trajetória, que é a aceleração centrípeta. A força que faz isso vem da atração elétrica entre o próton e o elétron.

Passo 3

A força elétrica entre o próton e o elétron é dada pela Lei de Coulomb:
F = k dfracqe qpr^2
Onde:
  • $ k $ é a constante eletrostática $ 8,988 \times 10^9 , N m2/\text{C}2 $
  • $ q_e $ e $ q_p $ são as cargas do elétron e do próton, respectivamente
  • $ r $ é a distância entre eles

Passo 4

A força centrípeta necessária para manter o elétron em movimento circular também pode ser expressa como:
F = me ac
Onde:
  • $ m_e $ é a massa do elétron
  • $ a_c $ é a aceleração centrípeta
Como essas duas forças são a mesma, podemos igualá-las:
me

Passo 5

Vamos resolver para a aceleração centrípeta $ a_c $:
ac
Agora, vamos substituir os valores dados:
  • $ k = 8,988 \times 10^9 , N m2/\text{C}2 $
  • $ q_e = q_p = 1,6 \times 10^{-19} , C $
  • $ m_e = 9,109 \times 10^{-31} , kg $
  • $ r = 5,29 \times 10^{-11} , m $

Passo 6

Substituindo os valores:
ac = dfrac8,988 times 10^9 times (1,6 times 10^-19)^29,109 times 10^-31 times (5,29 times 10^-11)^2
Calculando passo a passo:
  1. $ q_e q_p = (1,6 \times 10{-19})2 = 2,56 \times 10^{-38} , C^2 $
  2. $ r^2 = (5,29 \times 10{-11})2 = 2,8 \times 10^{-21} , m^2 $
  3. Multiplicando tudo:
qe qp = (1,6 times 10^-19)^2 = 2,56 times 10^-38 , C^2

Passo 7

Agora, vamos encontrar a velocidade angular $ \omega $. Sabemos que a aceleração centrípeta também pode ser expressa como:
omega
Já temos $ a_c $ e $ r $, então vamos isolar $ \omega $:
ac = r omega^2

Passo 8

A frequência $ f $ está relacionada com a velocidade angular pela fórmula:
f
Substituindo $ \omega $:
f = dfracomega2pi

Passo 9

Finalmente, a velocidade orbital $ v $ do elétron pode ser encontrada usando:
v
Substituindo os valores:
v = omega r

Resposta

A aceleração centrípeta do elétron é aproximadamente $ 8,2 \times 10^{22} , m/s^2 $, a velocidade angular é $ 3,92 \times 10^{16} , rad/s $, a frequência é $ 6,24 \times 10^{15} , Hz $ e a velocidade orbital do elétron é $ 2,07 \times 10^{6} , m/s $.

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