O elétron e o próton de um átomo de hidrogênio estão separados, em média, por uma distância de
. Sendo
as cargas do elétron e do próton, respectivamente,
e
as massas do próton e do elétron, respectivamente, ou seja,
(a massa do próton é aproximadamente 1840 vezes a massa do elétron), podemos admitir que o próton permanece praticamente em repouso no sistema inercial situado no centro de massa do átomo. De posse dessas informações, calcule:
A aceleração centrípeta, a velocidade angular, a frequência e a velocidade orbital do elétron.
A aceleração centrípeta, a velocidade angular, a frequência e a velocidade orbital do elétron.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o átomo de hidrogênio! A gente precisa calcular quatro coisas sobre o elétron que está girando ao redor do próton: a aceleração centrípeta, a velocidade angular, a frequência e a velocidade orbital. Para isso, vamos usar conceitos de física clássica, especialmente das leis de movimento e da força elétrica entre cargas. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o elétron está se movendo em um caminho circular ao redor do próton. Para manter esse movimento, precisa de uma força que puxe o elétron para o centro dessa trajetória, que é a aceleração centrípeta. A força que faz isso vem da atração elétrica entre o próton e o elétron.
Passo 3
A força elétrica entre o próton e o elétron é dada pela Lei de Coulomb:
Onde:
- $ k $ é a constante eletrostática $ 8,988 \times 10^9 , N m2/\text{C}2 $
- $ q_e $ e $ q_p $ são as cargas do elétron e do próton, respectivamente
- $ r $ é a distância entre eles
Passo 4
A força centrípeta necessária para manter o elétron em movimento circular também pode ser expressa como:
Onde:
- $ m_e $ é a massa do elétron
- $ a_c $ é a aceleração centrípeta
Como essas duas forças são a mesma, podemos igualá-las:
Passo 5
Vamos resolver para a aceleração centrípeta $ a_c $:
Agora, vamos substituir os valores dados:
- $ k = 8,988 \times 10^9 , N m2/\text{C}2 $
- $ q_e = q_p = 1,6 \times 10^{-19} , C $
- $ m_e = 9,109 \times 10^{-31} , kg $
- $ r = 5,29 \times 10^{-11} , m $
Passo 6
Substituindo os valores:
Calculando passo a passo:
- $ q_e q_p = (1,6 \times 10{-19})2 = 2,56 \times 10^{-38} , C^2 $
- $ r^2 = (5,29 \times 10{-11})2 = 2,8 \times 10^{-21} , m^2 $
- Multiplicando tudo:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a velocidade angular $ \omega $. Sabemos que a aceleração centrípeta também pode ser expressa como:
Já temos $ a_c $ e $ r $, então vamos isolar $ \omega $:
Passo 8
A frequência $ f $ está relacionada com a velocidade angular pela fórmula:
Substituindo $ \omega $:
Passo 9
Finalmente, a velocidade orbital $ v $ do elétron pode ser encontrada usando:
Substituindo os valores:
Resposta
A aceleração centrípeta do elétron é aproximadamente $ 8,2 \times 10^{22} , m/s^2 $, a velocidade angular é $ 3,92 \times 10^{16} , rad/s $, a frequência é $ 6,24 \times 10^{15} , Hz $ e a velocidade orbital do elétron é $ 2,07 \times 10^{6} , m/s $.