Um elétron e um próton movimentando-se em velocidades não relativísticas têm o mesmo comprimento de onda de De Broglie. Quais das seguintes quantidades também são as mesmas para as duas partículas?
Escolha uma opção:
a. velocidade
b. energia cinética
c. momento
d. frequência
Passo 1
O enunciado diz que um elétron e um próton, movendo-se em velocidades não relativísticas, têm o mesmo comprimento de onda de De Broglie. Pergunta quais das quantidades listadas também são as mesmas para as duas partículas: velocidade, energia cinética, momento ou frequência.
Informações relevantes dadas: o comprimento de onda de De Broglie é igual para ambas as partículas e as velocidades são não relativísticas. Não há outros dados numéricos no enunciado, mas sabemos que as massas do elétron e do próton são diferentes (o próton é muito mais pesado).
Passo 2
Apresento a relação fundamental de De Broglie e explico o que cada símbolo significa. A relação é
onde
é o comprimento de onda de De Broglie,
é a constante de Planck (
é a constante fundamental usada para relacionar energia/frequência e momento/comprimento de onda) e
é o momento linear da partícula. Aqui
significa magnitude do momento linear (para nossa discussão assumimos movimento unidimensional ou consideramos as magnitudes). Como o enunciado diz que as duas partículas têm o mesmo
, e
é a mesma constante para ambas, concluímos diretamente que os momentos das partículas têm a mesma magnitude:
Passo 3
Agora relaciono momento com velocidade e massa para ver se a velocidade também é a mesma. Para partículas não relativísticas o momento é dado por
onde
é a massa da partícula e
é a sua velocidade. Como
é igual para as duas partículas, temos
Como as massas são diferentes (
é muito maior que
), as velocidades serão diferentes. Podemos escrever a razão entre as velocidades:
Sabendo que
, o elétron se moverá com velocidade aproximadamente
vezes maior que a do próton. Portanto, a velocidade não é a mesma.
Passo 4
Analiso a energia cinética na aproximação não relativística. A energia cinética
pode ser escrita em duas formas equivalentes não relativísticas:
onde usei
para obter a segunda forma. Se o momento
é igual para as duas partículas, então
mostra que
depende inversamente da massa. Assim,
Ou seja, o elétron tem energia cinética muito maior que a do próton (para o mesmo
). Logo, a energia cinética não é a mesma.
Passo 5
Discuto a frequência associada à onda de De Broglie e se ela seria a mesma. A relação geral entre energia e frequência é
onde
é a energia associada à onda e
é a frequência. Há duas interpretações comuns: usar a energia cinética
(frequência cinética
) ou usar a energia total (incluindo energia de repouso)
(então
). Em qualquer uma das interpretações, a energia associada difere entre elétron e próton porque as massas são diferentes (na interpretação total o termo
domina e é muito diferente). Como já vimos que
é muito diferente para as duas partículas, a frequência associada à energia cinética
também será diferente. Portanto, a frequência não é a mesma.
Passo 6
Resumo lógico: com base na relação
e no fato de
ser igual para as duas partículas, concluímos que os momentos são iguais. A partir disso, usando
e
, mostramos que nem a velocidade nem a energia cinética podem ser iguais (porque dependem da massa, que é diferente). A frequência associada à energia também difere. Assim, a única grandeza entre as opções que é a mesma para ambas é o momento.
Resposta
c. momento