Um elétron e um próton movimentando-se em velocidades não relativísticas têm o mesmo comprimento de onda de De Broglie. Quais das seguintes quantidades também são as mesmas para as duas partículas?
Escolha uma opção:
\bigcirc a. velocidade
\bigcirc b. energia cinética
\bigcirc c. momento
\bigcirc d. frequência

Passo 1

O enunciado diz que um elétron e um próton, movendo-se em velocidades não relativísticas, têm o mesmo comprimento de onda de De Broglie. Pergunta quais das quantidades listadas também são as mesmas para as duas partículas: velocidade, energia cinética, momento ou frequência.
Informações relevantes dadas: o comprimento de onda de De Broglie é igual para ambas as partículas e as velocidades são não relativísticas. Não há outros dados numéricos no enunciado, mas sabemos que as massas do elétron e do próton são diferentes (o próton é muito mais pesado).

Passo 2

Apresento a relação fundamental de De Broglie e explico o que cada símbolo significa. A relação é
\lambda = \frac{h}{p},
onde \lambda é o comprimento de onda de De Broglie, h é a constante de Planck ( h é a constante fundamental usada para relacionar energia/frequência e momento/comprimento de onda) e p é o momento linear da partícula. Aqui p significa magnitude do momento linear (para nossa discussão assumimos movimento unidimensional ou consideramos as magnitudes). Como o enunciado diz que as duas partículas têm o mesmo \lambda, e h é a mesma constante para ambas, concluímos diretamente que os momentos das partículas têm a mesma magnitude:
p_{\text{elétron}} = p_{\text{próton}}.éó

Passo 3

Agora relaciono momento com velocidade e massa para ver se a velocidade também é a mesma. Para partículas não relativísticas o momento é dado por
p = m v,
onde m é a massa da partícula e v é a sua velocidade. Como p é igual para as duas partículas, temos
v = \frac{p}{m}.
Como as massas são diferentes ( m_{\text{próton}}ó é muito maior que m_{\text{elétron}}é), as velocidades serão diferentes. Podemos escrever a razão entre as velocidades:
\frac{v_{\text{elétron}}}{v_{\text{próton}}} = \frac{m_{\text{próton}}}{m_{\text{elétron}}}.éóóé
Sabendo que \dfrac{m_{\text{próton}}}{m_{\text{elétron}}}\approx 1836óé, o elétron se moverá com velocidade aproximadamente 1836 vezes maior que a do próton. Portanto, a velocidade não é a mesma.

Passo 4

Analiso a energia cinética na aproximação não relativística. A energia cinética K pode ser escrita em duas formas equivalentes não relativísticas:
K = \frac{1}{2} m v^{2} \quad\text{ou}\quad K = \frac{p^{2}}{2m},
onde usei p=mv para obter a segunda forma. Se o momento p é igual para as duas partículas, então
K = \frac{p^{2}}{2m}
mostra que K depende inversamente da massa. Assim,
\frac{K_{\text{elétron}}}{K_{\text{próton}}} = \frac{m_{\text{próton}}}{m_{\text{elétron}}}\approx 1836.éóóé
Ou seja, o elétron tem energia cinética muito maior que a do próton (para o mesmo p). Logo, a energia cinética não é a mesma.

Passo 5

Discuto a frequência associada à onda de De Broglie e se ela seria a mesma. A relação geral entre energia e frequência é
E = h f,
onde E é a energia associada à onda e f é a frequência. Há duas interpretações comuns: usar a energia cinética K (frequência cinética f_K = K/h) ou usar a energia total (incluindo energia de repouso) E_{\text{total}} = m c^{2} + K (então f_{\text{total}}=E_{\text{total}}/h). Em qualquer uma das interpretações, a energia associada difere entre elétron e próton porque as massas são diferentes (na interpretação total o termo m c^{2} domina e é muito diferente). Como já vimos que K é muito diferente para as duas partículas, a frequência associada à energia cinética f_K também será diferente. Portanto, a frequência não é a mesma.

Passo 6

Resumo lógico: com base na relação \lambda = h/p e no fato de \lambda ser igual para as duas partículas, concluímos que os momentos são iguais. A partir disso, usando p=mv e K=p^{2}/(2m), mostramos que nem a velocidade nem a energia cinética podem ser iguais (porque dependem da massa, que é diferente). A frequência associada à energia também difere. Assim, a única grandeza entre as opções que é a mesma para ambas é o momento.

Resposta

c. momento

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