(Valor: \mathbf{0 , 5 ~ p t . ) ~ O ~ m o d e l o ~ d e ~ B o h r ~ p a r a ~ o ~ a ́ t o m o ~ d e ~ h i d r o g e ̂ n i o ~ p o d e ~ s e r ~ c o m p a r a d o ~ a o ~ s i s t e m a ~ T e r r a - ~} Lua, em que o papel da Terra é desempenhado pelo próton e o da Lua pelo elétron, e a atração gravitacional é substituída pela eletrostática. A distância média entre o elétron e o próton no átomo é da ordem de 0,5 \times 10^{-10} m.
(a) (Valor: 0,25 pt.) Admitindo esse modelo, qual seria a frequência de revolução do elétron em torno do próton? Compare-a com a frequência da luz visível;
(b) (Valor: 0,25 pt.) Qual seria a velocidade do elétron na sua órbita? É adequado usar a eletrostática, nesse caso? É adequado usar a mecânica não relativística?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas, usando o modelo de Bohr com distância média entre elétron e próton dada:
  • (a) Calcular a frequência de revolução do elétron em torno do próton e comparar com a frequência da luz visível.
  • (b) Calcular a velocidade do elétron na órbita e dizer se é adequado usar a eletrostática e se a mecânica não-relativística é suficiente.
Dados relevantes fornecidos e constantes que vamos usar:
\text{o raio: } r = 0{,}5\times 10^{-10}\\ \mathrm{m} = 5{,}0\times 10^{-11}\\ \mathrm{m}
\text{carga do elétron: } e = 1{,}602\times 10^{-19}\\ \mathrm{C}é
\text{massa do elétron: } m_e = 9{,}109\times 10^{-31}\\ \mathrm{kg}é
\text{constante eletrostática: } k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 8{,}99\times 10^{9}\\ \mathrm{N\,m^2/C^2}á
\text{velocidade da luz: } c \approx 3{,}00\times 10^{8}\\ \mathrm{m/s}
Faço também referência à faixa típica de frequências da luz visível:
\text{visível: aproximadamente }4{,}0\times 10^{14}\\ \text{Hz (vermelho)}\\ \text{a}\\\ 8{,}0\times 10^{14}\\ \text{Hz (violeta)}.í

Passo 2

Vamos derivar a relação entre as forças e obter a velocidade orbital. Em órbita circular clássica, a força centrípeta necessária para manter o elétron girando é
F_{\text{centrípeta}}=\dfrac{m_e v^2}{r},í
onde m_e é a massa do elétron, v sua velocidade tangencial e r o raio da órbita.
No modelo de Bohr (substituindo gravidade por eletrostática) a força que provém da interação entre próton e elétron é a força de Coulomb:
F_{\text{Coulomb}}=\dfrac{k e^2}{r^2},
onde k é a constante eletrostática e e é a carga elementar.
No equilíbrio clássico dessas forças, igualamos:
\dfrac{m_e v^2}{r}=\dfrac{k e^2}{r^2}.
Isolando v obtemos a fórmula que vamos usar:
v=\sqrt{\dfrac{k e^2}{m_e r}}.
Depois, a frequência de revolução (número de voltas por segundo) é a velocidade dividida pelo comprimento da circunferência:
f=\dfrac{v}{2\pi r}.

Passo 3

Agora calculo numericamente k e^2. Primeiro e^2:
e^2=(1{,}602\times 10^{-19})^2=2{,}5669\times 10^{-38}\\ \mathrm{C^2}.
Multiplicando por k:
k e^2 = 8{,}99\times 10^{9}\times 2{,}5669\times 10^{-38} =2{,}307\times 10^{-28}\\ \mathrm{N\cdot m^2}.

Passo 4

Calculo agora o denominador m_e r:
m_e r = 9{,}109\times 10^{-31}\times 5{,}0\times 10^{-11} =4{,}5545\times 10^{-41}\\ \mathrm{kg\cdot m}.
Dividindo e extraindo raiz para obter v:
\dfrac{k e^2}{m_e r}=\dfrac{2{,}307\times 10^{-28}}{4{,}5545\times 10^{-41}}=5{,}064\times 10^{12}\\ \mathrm{m^2/s^2},
v=\sqrt{5{,}064\times 10^{12}}=2{,}25\times 10^{6}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Com v em mãos, calculo a frequência de revolução f:
2\pi r = 2\pi\times 5{,}0\times 10^{-11}=3{,}1416\times 10^{-10}\\ \mathrm{m},
f=\dfrac{v}{2\pi r}=\dfrac{2{,}25\times 10^{6}}{3{,}1416\times 10^{-10}}=7{,}16\times 10^{15}\\ \mathrm{Hz}.

Passo 6

Comparação com a luz visível: a frequência calculada
f\approx 7{,}2\times 10^{15}\\ \mathrm{Hz}
é muito maior que a faixa visível 4{,}0\times 10^{14} a 8{,}0\times 10^{14}\\ \mathrm{Hz}. Em termos de razão, f é aproximadamente 9 vezes maior que o limite superior da visível, portanto essa frequência está na região do ultravioleta/extremo ultravioleta (bem acima do visível).

Passo 7

Verificação da adequação de aproximações: comparo v com c.
\dfrac{v}{c}=\dfrac{2{,}25\times 10^{6}}{3{,}00\times 10^{8}}=7{,}5\times 10^{-3}\approx 0{,}0075,
ou seja, v\approx 0{,}75\% de c. Isso significa que os efeitos relativísticos (correções de ordem v^2/c^2) são muito pequenos, logo a mecânica não-relativística é adequada como aproximação.
Sobre a eletrostática: como v\ll c, os efeitos magnéticos gerados pelo movimento relativo e correções retardadas do campo eletromagnético (termos dependentes de velocidade comparáveis a (v/c)) são muito pequenos; portanto usar a lei de Coulomb (eletrostática) como força central é razoável para estimativas de ordem de grandeza. Há, porém, uma ressalva conceitual importante: um elétron acelerado na física clássica deveria radiar energia e espiralaria para dentro do próton — isso é uma inconsistência do tratamento puramente clássico. O modelo de Bohr introduz quantização para contornar essa inconsistência. Então, para cálculos de velocidade e frequência (ordem de grandeza) as aproximações clássicas/eletrostáticas e não-relativísticas são aceitáveis; para descrição correta dos níveis de energia e transições, é necessária a mecânica quântica.

Resposta

(a) \;f\approx 7{,}2\times 10^{15}\\ \mathrm{Hz}. Essa frequência é cerca de 9 vezes maior que o limite superior da luz visível ( \sim 8{,}0\times 10^{14}\\ \mathrm{Hz}), portanto está no ultravioleta/extremo ultravioleta.
(b) \;v\approx 2{,}25\times 10^{6}\\ \mathrm{m/s}\approx 0{,}0075\,c. É adequado usar a eletrostática (efeitos magnéticos e retardados são desprezíveis) e a mecânica não-relativística (pois v\ll c) para estimativas; contudo, a descrição completa exige mecânica quântica porque o elétron clássico acelerado radiaria energia.

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