(Valor:
Lua, em que o papel da Terra é desempenhado pelo próton e o da Lua pelo elétron, e a atração gravitacional é substituída pela eletrostática. A distância média entre o elétron e o próton no átomo é da ordem de
.
(a) (Valor: 0,25 pt.) Admitindo esse modelo, qual seria a frequência de revolução do elétron em torno do próton? Compare-a com a frequência da luz visível;
(b) (Valor: 0,25 pt.) Qual seria a velocidade do elétron na sua órbita? É adequado usar a eletrostática, nesse caso? É adequado usar a mecânica não relativística?
(a) (Valor: 0,25 pt.) Admitindo esse modelo, qual seria a frequência de revolução do elétron em torno do próton? Compare-a com a frequência da luz visível;
(b) (Valor: 0,25 pt.) Qual seria a velocidade do elétron na sua órbita? É adequado usar a eletrostática, nesse caso? É adequado usar a mecânica não relativística?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas, usando o modelo de Bohr com distância média entre elétron e próton dada:
- (a) Calcular a frequência de revolução do elétron em torno do próton e comparar com a frequência da luz visível.
- (b) Calcular a velocidade do elétron na órbita e dizer se é adequado usar a eletrostática e se a mecânica não-relativística é suficiente.
Dados relevantes fornecidos e constantes que vamos usar:
Faço também referência à faixa típica de frequências da luz visível:
Passo 2
Vamos derivar a relação entre as forças e obter a velocidade orbital. Em órbita circular clássica, a força centrípeta necessária para manter o elétron girando é
onde
é a massa do elétron,
sua velocidade tangencial e
o raio da órbita.
No modelo de Bohr (substituindo gravidade por eletrostática) a força que provém da interação entre próton e elétron é a força de Coulomb:
onde
é a constante eletrostática e
é a carga elementar.
No equilíbrio clássico dessas forças, igualamos:
Isolando
obtemos a fórmula que vamos usar:
Depois, a frequência de revolução (número de voltas por segundo) é a velocidade dividida pelo comprimento da circunferência:
Passo 3
Agora calculo numericamente
. Primeiro
:
Multiplicando por
:
Passo 4
Calculo agora o denominador
:
Dividindo e extraindo raiz para obter
:
Passo 5
Com
em mãos, calculo a frequência de revolução
:
Passo 6
Comparação com a luz visível: a frequência calculada
é muito maior que a faixa visível
a
. Em termos de razão,
é aproximadamente
vezes maior que o limite superior da visível, portanto essa frequência está na região do ultravioleta/extremo ultravioleta (bem acima do visível).
Passo 7
Verificação da adequação de aproximações: comparo
com
.
ou seja,
de
. Isso significa que os efeitos relativísticos (correções de ordem
) são muito pequenos, logo a mecânica não-relativística é adequada como aproximação.
Sobre a eletrostática: como
, os efeitos magnéticos gerados pelo movimento relativo e correções retardadas do campo eletromagnético (termos dependentes de velocidade comparáveis a
) são muito pequenos; portanto usar a lei de Coulomb (eletrostática) como força central é razoável para estimativas de ordem de grandeza. Há, porém, uma ressalva conceitual importante: um elétron acelerado na física clássica deveria radiar energia e espiralaria para dentro do próton — isso é uma inconsistência do tratamento puramente clássico. O modelo de Bohr introduz quantização para contornar essa inconsistência. Então, para cálculos de velocidade e frequência (ordem de grandeza) as aproximações clássicas/eletrostáticas e não-relativísticas são aceitáveis; para descrição correta dos níveis de energia e transições, é necessária a mecânica quântica.
Resposta
(a)
. Essa frequência é cerca de 9 vezes maior que o limite superior da luz visível (
), portanto está no ultravioleta/extremo ultravioleta.
(b) . É adequado usar a eletrostática (efeitos magnéticos e retardados são desprezíveis) e a mecânica não-relativística (pois
) para estimativas; contudo, a descrição completa exige mecânica quântica porque o elétron clássico acelerado radiaria energia.
(b)