(Valor: \mathbf{1 , 0} pt.) O valor médio do campo elétrico na atmosfera num determinado dia, num ponto da superfície da Terra, é de 300 N / C, dirigido verticalmente para baixo. A uma altitude de 1.400 m, ele reduz-se a 20 N / C. Qual é a densidade média de carga na atmosfera abaixo de 1.400 m ? [Para mais informações sobre eletricidade atmosférica, veja FEYNMAN, R. P. Lectures on Physics. v. 2. AddisonWesley, Reading, 1964, Capítulo 9].

Passo 1

Dados do enunciado (copiados e listados para ficar claro):
E\\ \text{na superfície} = 300\\ \mathrm{N/C}\\ \text{direcionado verticalmente para baixo}í
E\\ \text{a }h=1400\\ \mathrm{m} = 20\\ \mathrm{N/C}\\ \text{direcionado verticalmente para baixo}
Pergunta: qual é a densidade média de carga elétrica na atmosfera no intervalo vertical entre z=0 (superfície) e z=1400\\ \mathrm{m}?

Passo 2

Escolho um sistema de coordenadas simples para não confundir: eixo z apontando para cima. Assim, um campo elétrico apontando para baixo corresponde a um componente vertical E_z negativo. Portanto:
E_z(0) = -300\\ \mathrm{N/C},\qquad E_z(1400) = -20\\ \mathrm{N/C},
onde os sinais negativos indicam direção para baixo.

Passo 3

Vou usar a relação fundamental entre campo elétrico e densidade de carga: a Lei de Gauss no formato diferencial (uma das equações de Maxwell):
\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}.
Interpretação intuitiva rápida: o divergente do campo elétrico mede quanto “fluxo elétrico” sai por unidade de volume; esse fluxo por volume é gerado pela densidade de carga \rho (carga por volume). No nosso caso o campo varia só com z e só tem componente E_z, então a equação reduz-se a
\frac{dE_z}{dz}=\frac{\rho(z)}{\varepsilon_0}.

Passo 4

Queremos a densidade média \rho_{\text{média}}é no intervalo 0\le z\le h com h=1400\\ \mathrm{m}. Integro a equação anterior de 0 a h:
\int_{0}^{h}\frac{dE_z}{dz}\,dz=\int_{0}^{h}\frac{\rho(z)}{\varepsilon_0}\,dz.
O lado esquerdo é simplesmente E_z(h)-E_z(0). O lado direito é \dfrac{1}{\varepsilon_0} vezes a carga por unidade de área no intervalo, isto é \dfrac{h\,\rho_{\text{média}}}{\varepsilon_0}é. Assim:
E_z(h)-E_z(0)=\frac{h\,\rho_{\text{média}}}{\varepsilon_0}.é
Isolando \rho_{\text{média}}é:
\rho_{\text{média}}=\varepsilon_0\frac{E_z(h)-E_z(0)}{h}.é

Passo 5

Agora substituo os valores conhecidos. Primeiro calcule a diferença:
E_z(h)-E_z(0)=(-20)-(-300)=280\\ \mathrm{N/C}.
Com h=1400\\ \mathrm{m} e \varepsilon_0\approx 8,85\times10^{-12}\\ \mathrm{C^2/(N\cdot m^2)}, temos
\rho_{\text{média}}=\left(8,85\times10^{-12}\right)\frac{280}{1400}.é
Calculo a fração \dfrac{280}{1400}=0,2. Logo
\rho_{\text{média}}=8,85\times10^{-12}\times 0,2=1,77\times10^{-12}\\ \mathrm{C/m^3}.é

Passo 6

Interpretação do resultado (rápido e encorajador): o valor é positivo ( \rho_{\text{média}}>0é), o que significa que, em média, há excesso de cargas positivas na atmosfera entre a superfície e 1400\\ \mathrm{m} que gera o campo dirigido para baixo que decresce com a altitude. É um valor muito pequeno — típico de densidades de carga atmosféricas — mas suficiente para produzir o campo observado. Vai bem, está ficando claro!

Resposta

\rho_{\text{média}}=1,77\times10^{-12}\\ \mathrm{C/m^3}é

Exercícios relacionados