(Valor:
pt.) O valor médio do campo elétrico na atmosfera num determinado dia, num ponto da superfície da Terra, é de
, dirigido verticalmente para baixo. A uma altitude de
, ele reduz-se a
. Qual é a densidade média de carga na atmosfera abaixo de
? [Para mais informações sobre eletricidade atmosférica, veja FEYNMAN, R. P. Lectures on Physics. v. 2. AddisonWesley, Reading, 1964, Capítulo 9].
Passo 1
Dados do enunciado (copiados e listados para ficar claro):
Pergunta: qual é a densidade média de carga elétrica na atmosfera no intervalo vertical entre
(superfície) e
?
Passo 2
Escolho um sistema de coordenadas simples para não confundir: eixo
apontando para cima. Assim, um campo elétrico apontando para baixo corresponde a um componente vertical
negativo. Portanto:
onde os sinais negativos indicam direção para baixo.
Passo 3
Vou usar a relação fundamental entre campo elétrico e densidade de carga: a Lei de Gauss no formato diferencial (uma das equações de Maxwell):
Interpretação intuitiva rápida: o divergente do campo elétrico mede quanto “fluxo elétrico” sai por unidade de volume; esse fluxo por volume é gerado pela densidade de carga
(carga por volume). No nosso caso o campo varia só com
e só tem componente
, então a equação reduz-se a
Passo 4
Queremos a densidade média
no intervalo
com
. Integro a equação anterior de
a
:
O lado esquerdo é simplesmente
. O lado direito é
vezes a carga por unidade de área no intervalo, isto é
. Assim:
Isolando
:
Passo 5
Agora substituo os valores conhecidos. Primeiro calcule a diferença:
Com
e
, temos
Calculo a fração
. Logo
Passo 6
Interpretação do resultado (rápido e encorajador): o valor é positivo (
), o que significa que, em média, há excesso de cargas positivas na atmosfera entre a superfície e
que gera o campo dirigido para baixo que decresce com a altitude. É um valor muito pequeno — típico de densidades de carga atmosféricas — mas suficiente para produzir o campo observado. Vai bem, está ficando claro!