Suponha que um pato viva em um universo no qual h=2 \pi J . s. O pato tem massa de 2,00 k g e é inicialmente sabido que ele está dentro de uma lagoa de 1,00 m de largura. Qual é a incerteza mínima na componente da velocidade paralela à largura da lagoa?
Escolha uma opção:
\bigcirc a. 0,250 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
\bigcirc b. 0,500 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
\bigcirc c. 1,000 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
\bigcirc d. 0,125 \mathrm{~ms}
\bigcirc e. 2,000 \mathrm{~m} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa específica. Informações relevantes:
  • h=2\pi\\ \mathrm{J\cdot s}.
  • A massa do pato é m=2{,}00\\ \mathrm{kg}.
  • Sabe‑se apenas que o pato está dentro de uma lagoa com largura \Delta x=1{,}00\\ \mathrm{m} — isto representa a incerteza na posição na direção paralela à largura.
    O que se pede: a incerteza mínima na componente da velocidade paralela à largura da lagoa, ou seja \Delta v mínima nessa direção.

Passo 2

Vamos usar a relação de incerteza entre posição e momento linear. A forma usual da desigualdade de Heisenberg é
\Delta x\,\Delta p \ge \frac{\hbar}{2},
onde \Delta x é a incerteza na posição, \Delta p é a incerteza no momento linear e \hbar é a constante de Planck reduzida. Aqui cada símbolo significa: \Delta x em metros, \Delta p em \mathrm{kg\cdot m/s} e \hbar em \mathrm{J\cdot s}=\mathrm{kg\cdot m^2/s}.
Como nos deram h=2\pi\\ \mathrm{J\cdot s}, calculamos
\hbar=\frac{h}{2\pi}= \frac{2\pi}{2\pi}=1\\ \mathrm{J\cdot s}.
Portanto \hbar=1\\ \mathrm{kg\cdot m^2/s} no sistema de unidades usado aqui.

Passo 3

Para obter a incerteza mínima assumimos a igualdade aproximada (o menor \Delta p permitido):
\Delta p_{\min} = \frac{\hbar}{2\,\Delta x}.
Substituindo \hbar=1\\ \mathrm{J\cdot s} e \Delta x=1{,}00\\ \mathrm{m}:
\Delta p_{\min} = \frac{1}{2\cdot 1{,}00}=0{,}50\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 4

Relacionamos momento e velocidade pela definição \Delta p = m\,\Delta v, portanto a incerteza mínima na velocidade é
\Delta v_{\min}=\frac{\Delta p_{\min}}{m}.
Com \Delta p_{\min}=0{,}50\\ \mathrm{kg\cdot m/s} e m=2{,}00\\ \mathrm{kg}:
\Delta v_{\min}=\frac{0{,}50}{2{,}00}=0{,}25\\ \mathrm{m/s}.
Explicando em palavras: por causa da incerteza quântica entre posição e momento, conhecer a posição com precisão \Delta x=1{,}00\\ \mathrm{m} impõe uma incerteza mínima de 0{,}25\\ \mathrm{m/s} na componente de velocidade nessa direção.

Passo 5

Comparando com as alternativas dadas, o valor corresponde à alternativa (a). Boa — esse resultado mostra como um \hbar grande (aqui \hbar=1) leva a incertezas macroscópicas; no nosso mundo real \hbar é muito menor, então esses efeitos são desprezíveis para patos.

Resposta

a. 0,250\\ \mathrm{m/s}

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