Quarks carregam spin 1 / 2. Três quarks se juntam para compor um bárion (assim como o próton e o nêutron); dois quarks (ou, mais precisamente, um quark e um antiquark) unem-se para compor um méson (tal qual o píon e o káon). Suponha que os quarks estejam no estado fundamental (assim, o momento angular orbital é zero).
Quais spins são possíveis para os bárions?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Cada quark tem spin \tfrac{1}{2}.
  • Um bárion é formado por três quarks.
  • Os quarks estão no estado fundamental, ou seja, o momento angular orbital é L=0 (logo só conta o spin).
    A pergunta é: quais valores de spin total são possíveis para esses bárions?

Passo 2

Conceito que vamos usar: adição de momentos angulares (aqui somente spins). Quando se somam dois momentos angulares s_1 e s_2, os valores possíveis do momento total S vão de |s_1-s_2| até s_1+s_2 em passos de 1. Aplicando isso a dois spins \tfrac{1}{2}:
\tfrac{1}{2}\otimes\tfrac{1}{2}=0\oplus1.
Isto significa que dois quarks podem formar um estado de spin total S_{12}=0 (singlete) ou S_{12}=1 (triplete). Um jeito concreto de ver os estados do par é, em notação de spins:
\text{triplete: }\quad \uparrow\uparrow,\quad \frac{1}{\sqrt{2}}(\uparrow\downarrow+\downarrow\uparrow),\quad \downarrow\downarrow,
\text{singlete: }\quad \frac{1}{\sqrt{2}}(\uparrow\downarrow-\downarrow\uparrow).

Passo 3

Agora somamos o terceiro quark (spin \tfrac{1}{2}) ao par já combinado. Fazemos isso separadamente para os dois casos S_{12}=0 e S_{12}=1.
  • Se S_{12}=0, então a soma com \tfrac{1}{2}
0\otimes\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}.
Ou seja, o singlete do par mais o terceiro quark só produz um estado de spin total S=\tfrac{1}{2}.
  • Se S_{12}=1, então a soma com \tfrac{1}{2}
1\otimes\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}\oplus\tfrac{3}{2}.
Isto significa que o triplete do par mais o terceiro quark pode produzir um estado de spin total S=\tfrac{1}{2} ou S=\tfrac{3}{2}.

Passo 4

Juntando os resultados:
\tfrac{1}{2}\otimes\tfrac{1}{2}\otimes\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2}\oplus\tfrac{1}{2}\oplus\tfrac{1}{2}.
Em termos de multiplicidades de estados: o total de estados de spin é 2^3=8. Esses se reorganizam em um quarteto com 2S+1=4 estados para S=\tfrac{3}{2} e dois duplos com 2S+1=2 estados cada para S=\tfrac{1}{2}; 4+2+2=8, conferindo a contagem.

Passo 5

Interpretação física simples e encorajamento: portanto, para três quarks em L=0 os únicos valores possíveis de spin total do bárion são S=\tfrac{1}{2} e S=\tfrac{3}{2}. Na prática isso corresponde, por exemplo, aos bárions de spin- \tfrac{1}{2} (como o próton e o nêutron) e aos bárions de spin- \tfrac{3}{2} (como o \Delta onde os spins dos quarks estão alinhados). Segura aí — essa conta é direta e muito útil para provas!

Resposta

S=\tfrac{1}{2} e S=\tfrac{3}{2}

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