Encontre o momento de inércia de um quadrado formado por quatro barras finas para rotações com relação ao eixo que passa pelo centro geométrico da figura e: é perpendicular ao plano que contém o quadrado. As respostas devem depender apenas da massa total do objeto M e do lado do quadrado L.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o momento de inércia de um quadrado formado por quatro barras finas. O eixo de rotação passa pelo centro geométrico do quadrado e é perpendicular ao plano da figura. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica, especificamente sobre momento de inércia e o Teorema de Eixo Paralelo. Precisamos só da massa total do quadrado, $ M $, e do lado do quadrado, $ L $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o quadrado é composto por quatro barras finas, cada uma com massa igual. Então, a massa de cada barra individual é $ \frac{M}{4} $.

Passo 3

Agora, precisamos saber o momento de inércia de uma barra fina em relação ao seu centro de massa. A fórmula para uma barra de comprimento $ L $ e massa $ m $ é:
L
No nosso caso, para cada barra:
m

Passo 4

Mas o eixo de rotação não passa pelo centro de cada barra; ele passa pelo centro do quadrado. Portanto, precisamos usar o Teorema de Eixo Paralelo, que nos diz que o momento de inércia em relação a um eixo paralelo é:
I = Icentro + m d^2
onde $ d $ é a distância entre os dois eixos.

Passo 5

A distância $ d $ do centro de cada barra até o centro do quadrado é metade do lado do quadrado, ou seja:
d
Então, aplicando o Teorema de Eixo Paralelo para cada barra:
d = L2

Passo 6

Vamos somar essas duas frações:
M L^248 + M L^216 = M L^248 + 3 M L^248 = 4 M L^248 = M L^212
Esse é o momento de inércia de uma barra em relação ao eixo central do quadrado.

Passo 7

Como temos quatro barras no total, o momento de inércia total do quadrado é:
Itotal = 4 times M L^212 = 4 M L^212 = M L^23

Resposta

O momento de inércia do quadrado em relação ao eixo central perpendicular ao plano é:
I = 13 M L^2

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