Encontre o momento de inércia de um quadrado formado por quatro barras finas para rotações com relação ao eixo que passa pelo centro geométrico da figura e: é perpendicular ao plano que contém o quadrado. As respostas devem depender apenas da massa total do objeto
e do lado do quadrado
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o momento de inércia de um quadrado formado por quatro barras finas. O eixo de rotação passa pelo centro geométrico do quadrado e é perpendicular ao plano da figura. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica, especificamente sobre momento de inércia e o Teorema de Eixo Paralelo. Precisamos só da massa total do quadrado, $ M $, e do lado do quadrado, $ L $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o quadrado é composto por quatro barras finas, cada uma com massa igual. Então, a massa de cada barra individual é $ \frac{M}{4} $.
Passo 3
Agora, precisamos saber o momento de inércia de uma barra fina em relação ao seu centro de massa. A fórmula para uma barra de comprimento $ L $ e massa $ m $ é:
No nosso caso, para cada barra:
Passo 4
Mas o eixo de rotação não passa pelo centro de cada barra; ele passa pelo centro do quadrado. Portanto, precisamos usar o Teorema de Eixo Paralelo, que nos diz que o momento de inércia em relação a um eixo paralelo é:
onde $ d $ é a distância entre os dois eixos.
Passo 5
A distância $ d $ do centro de cada barra até o centro do quadrado é metade do lado do quadrado, ou seja:
Então, aplicando o Teorema de Eixo Paralelo para cada barra:
Passo 6
Vamos somar essas duas frações:
Esse é o momento de inércia de uma barra em relação ao eixo central do quadrado.
Passo 7
Como temos quatro barras no total, o momento de inércia total do quadrado é:
Resposta
O momento de inércia do quadrado em relação ao eixo central perpendicular ao plano é: