Uma rede tem 9600 linhas uniformemente espaçadas numa largura
e é iluminada pela luz de uma descarga de vapor de mercúrio. (a) Qual a dispersão esperada, na terceira ordem, em torno da linha verde intensa
? (b) Qual o poder de resolução dessa rede, na quinta ordem? (Valor: 1,0 ponto)
Passo 1
O enunciado dá uma rede de difração com
linhas uniformemente espaçadas numa largura
e pede duas coisas:
(a) a dispersão esperada na terceira ordem em torno da linha verde de ;
(b) o poder de resolução dessa rede na quinta ordem.
Informações relevantes extraídas do enunciado: ,
,
.
A resolução começará a partir do Passo 2.
(a) a dispersão esperada na terceira ordem em torno da linha verde de
(b) o poder de resolução dessa rede na quinta ordem.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A resolução começará a partir do Passo 2.
Passo 2
Vamos calcular o espaçamento entre linhas
(distância entre duas linhas adjacentes). A definição é
Substituindo os valores e mostrando os passos:
Explicação curta:
é importante porque entra na equação da rede que relaciona o ângulo de difração com o comprimento de onda.
Passo 3
Formulação da parte (a): a equação da rede é
onde
é a ordem,
é o comprimento de onda,
é o espaçamento entre linhas e
é o ângulo de difração.
A dispersão angular (ou seja, como o ângulo muda quando
muda) é obtida derivando a equação da rede em relação a
. Diferenciando:
A dispersão angular (ou seja, como o ângulo
Aqui
é a dispersão angular (unidades de radiano por metro se
em metros). Para usar essa fórmula precisamos de
, que obtemos da equação da rede:
Agora aplicamos para
e
.
Passo 4
Calculando
para a terceira ordem:
Logo
Agora a dispersão:
Converter para unidades úteis: para radiano por nanómetro multiplicamos por
:
Se preferir em graus por nanómetro:
Pequeno comentário: essa dispersão diz quanto o ângulo muda quando a(s) linha(s) espectrais mudam de
.
Passo 5
Parte (b): poder de resolução de uma rede. O poder de resolução teórico de uma rede é dado por
onde
é a ordem e
é o número de linhas iluminadas (aqui assumimos que toda a largura com
linhas está sendo usada, então
). Explicação: essa fórmula vem do somatório de contribuições de cada fenda/linha da rede; mais linhas e ordem maior aumentam a capacidade de distinguir comprimentos de onda próximos.
Para e
:
Para
Esse é o valor adimensional do poder de resolução. Com isso podemos achar a menor diferença de comprimento de onda resolvível:
Resposta
(a)
\n(b)