Uma rede tem 9600 linhas uniformemente espaçadas numa largura W=3,00 \mathrm{~cm} e é iluminada pela luz de uma descarga de vapor de mercúrio. (a) Qual a dispersão esperada, na terceira ordem, em torno da linha verde intensa (\lambda=546 \mathrm{~nm}) ? (b) Qual o poder de resolução dessa rede, na quinta ordem? (Valor: 1,0 ponto)

Passo 1

O enunciado dá uma rede de difração com 9600 linhas uniformemente espaçadas numa largura W=3,00\\ \mathrm{cm} e pede duas coisas:
(a) a dispersão esperada na terceira ordem em torno da linha verde de \lambda=546\\ \mathrm{nm};
(b) o poder de resolução dessa rede na quinta ordem.
Informações relevantes extraídas do enunciado: N_{\text{linhas}}=9600, W=3{,}00\\ \mathrm{cm}=0{,}03\\ \mathrm{m}, \lambda=546\\ \mathrm{nm}=546\times10^{-9}\\ \mathrm{m}.
A resolução começará a partir do Passo 2.

Passo 2

Vamos calcular o espaçamento entre linhas d (distância entre duas linhas adjacentes). A definição é
d=\frac{W}{N_{\text{linhas}}}.
Substituindo os valores e mostrando os passos:
d=\frac{0{,}03\\ \mathrm{m}}{9600}=3{,}125\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
Explicação curta: d é importante porque entra na equação da rede que relaciona o ângulo de difração com o comprimento de onda.

Passo 3

Formulação da parte (a): a equação da rede é
m\lambda = d\sin\theta,
onde m é a ordem, \lambda é o comprimento de onda, d é o espaçamento entre linhas e \theta é o ângulo de difração.
A dispersão angular (ou seja, como o ângulo \theta muda quando \lambda muda) é obtida derivando a equação da rede em relação a \lambda. Diferenciando:
m\,d\lambda = d\cos\theta\,d\theta \quad\Rightarrow\quad \frac{d\theta}{d\lambda}=\frac{m}{d\cos\theta}.
Aqui \frac{d\theta}{d\lambda} é a dispersão angular (unidades de radiano por metro se \lambda em metros). Para usar essa fórmula precisamos de \cos\theta, que obtemos da equação da rede:
\sin\theta = \frac{m\lambda}{d}.
Agora aplicamos para m=3 e \lambda=546\times10^{-9}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calculando \sin\theta para a terceira ordem:
\sin\theta = \frac{3\cdot 546\times10^{-9}}{3{,}125\times10^{-6}} = \frac{1{,}638\times10^{-6}}{3{,}125\times10^{-6}}=0{,}52416\\ (\text{aprox.}).
Logo
\cos\theta=\sqrt{1-\sin^2\theta}=\sqrt{1-0{,}52416^2}=\sqrt{0{,}72525}=0{,}8516\\ (\text{aprox.}).
Agora a dispersão:
\frac{d\theta}{d\lambda}=\frac{m}{d\cos\theta}=\frac{3}{(3{,}125\times10^{-6})(0{,}8516)}=\;1{,}1276\times10^{6}\\ \mathrm{m^{-1}}.
Converter para unidades úteis: para radiano por nanómetro multiplicamos por 1\times10^{-9}\\ \mathrm{m/nm}:
\frac{d\theta}{d\lambda}=1{,}1276\times10^{-3}\\ \mathrm{rad/nm}\approx1{,}13\times10^{-3}\\ \mathrm{rad/nm}.
Se preferir em graus por nanómetro:
1{,}1276\times10^{-3}\times\frac{180}{\pi}\approx0{,}0646^\circ/\mathrm{nm}.
Pequeno comentário: essa dispersão diz quanto o ângulo muda quando a(s) linha(s) espectrais mudam de \,1\\ \mathrm{nm}.

Passo 5

Parte (b): poder de resolução de uma rede. O poder de resolução teórico de uma rede é dado por
R=\frac{\lambda}{\Delta\lambda}=mN,
onde m é a ordem e N é o número de linhas iluminadas (aqui assumimos que toda a largura com 9600 linhas está sendo usada, então N=9600). Explicação: essa fórmula vem do somatório de contribuições de cada fenda/linha da rede; mais linhas e ordem maior aumentam a capacidade de distinguir comprimentos de onda próximos.
Para m=5 e N=9600:
R=mN=5\times9600=48000.
Esse é o valor adimensional do poder de resolução. Com isso podemos achar a menor diferença de comprimento de onda resolvível:
\Delta\lambda=\frac{\lambda}{R}=\frac{546\\ \mathrm{nm}}{48000}=0{,}011375\\ \mathrm{nm}\approx1{,}14\times10^{-2}\\ \mathrm{nm}.

Resposta

(a) \dfrac{d\theta}{d\lambda}\approx1{,}13\times10^{-3}\\ \mathrm{rad/nm} \approx0{,}0646^\circ/\mathrm{nm}.\n(b) R=mN=5\times9600=48000,\quad \Delta\lambda_{\min}\approx1{,}14\times10^{-2}\\ \mathrm{nm}.

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