Elétrons no estado inicial de repouso são acelerados por uma diferença de potencial de V=35,2 \mathrm{kV}. Depois disso os elétrons seguem como partículas livres. Determine o comprimento de onda de Broglie final dos elétrons.
Para seus cálculos, se necessário, use para os valores de constantes universais:
h=6,626 \times 10^{-34} J . s
c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}
e=1,6 \times 10^{-19} C
m_{e}=9,11 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}
Resposta: \square

Passo 1

O enunciado pede: determinar o comprimento de onda de Broglie final dos elétrons que, partindo do repouso, foram acelerados por uma diferença de potencial V=35{,}2\\ \mathrm{kV} e depois seguem como partículas livres.
Informações/dados fornecidos:
V=35{,}2\\ \mathrm{kV},\quad h=6{,}626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s},\quad c=3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s},
e=1{,}6\times10^{-19}\\ \mathrm{C},\quad m_{e}=9{,}11\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
A resposta solicitada é o comprimento de onda de Broglie final \lambda (em metros).

Passo 2

Conceito principal que vamos usar: a relação de Broglie liga comprimento de onda à quantidade de movimento (momentum):
\lambda=\frac{h}{p},
onde h é a constante de Planck e p é o módulo do momentum linear da partícula. Então precisamos calcular o momentum final p do elétron após a aceleração.

Passo 3

Como os elétrons foram acelerados por uma diferença de potencial V, a energia cinética adquirida é
K=eV,
onde e é a carga elementar. A partir dessa energia cinética podemos obter o momentum. Para velocidades que podem ser uma fração significativa de c (aqui V é algumas dezenas de keV), é mais seguro usar a expressão relativística para o momentum: a energia total é E=\gamma m_{e}c^{2}=m_{e}c^{2}+K, e o momentum satisfaz
(pc)^{2}=E^{2}-(m_{e}c^{2})^{2}.
Portanto
p=\frac{1}{c}\sqrt{(m_{e}c^{2}+K)^{2}-(m_{e}c^{2})^{2}} =\frac{1}{c}\sqrt{2\,m_{e}c^{2}K+K^{2}}.
Esta fórmula é exacta no relativístico (dado K e m_{e}c^{2}) e reduz ao caso não-relativístico \,p\approx\sqrt{2m_{e}K} quando K\ll m_{e}c^{2}.

Passo 4

Calculemos a energia cinética K usando K=eV. Usando os dados fornecidos:
K=eV=(1{,}6\times10^{-19}\\ \mathrm{C})\cdot(35{,}2\times10^{3}\\ \mathrm{V}) =5{,}632\times10^{-15}\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Calculemos a energia de repouso m_{e}c^{2}:
m_{e}c^{2}=(9{,}11\times10^{-31}\\ \mathrm{kg})\cdot(3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s})^{2} =8{,}199\times10^{-14}\\ \mathrm{J}.
Agora computamos a quantidade dentro da raiz:
2\,m_{e}c^{2}K+K^{2}=2\cdot(8{,}199\times10^{-14})(5{,}632\times10^{-15})+(5{,}632\times10^{-15})^{2}
=9{,}55254784\times10^{-28}\\ \mathrm{J^{2}}\quad(\text{resultado numérico}).é
Tirando a raiz e dividindo por c obtemos p:
pc=\sqrt{9{,}55254784\times10^{-28}}=3{,}09072\times10^{-14}\\ \mathrm{J},
p=\frac{3{,}09072\times10^{-14}}{3\times10^{8}}=1{,}03024\times10^{-22}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 6

Finalmente usamos a relação de Broglie \lambda=\dfrac{h}{p}. Substituindo os valores:
\lambda=\frac{6{,}626\times10^{-34}}{1{,}03024\times10^{-22}}=6{,}4316\times10^{-12}\\ \mathrm{m}.
Em notação conveniente, isso é aproximadamente 6{,}43\times10^{-12}\\ \mathrm{m}, ou seja 6{,}43\\ \mathrm{pm} (picômetros).
Comentário didático: se tivéssemos usado a aproximação não-relativística p\approx\sqrt{2m_{e}K} obteríamos \lambda\approx6{,}54\times10^{-12}\\ \mathrm{m}, diferença de cerca de 1{,}7\%. Por isso a conta relativística é recomendada aqui (não muito mais complicada e mais precisa).

Resposta

\lambda=6,43\times10^{-12}\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados