Elétrons no estado inicial de repouso são acelerados por uma diferença de potencial de
. Depois disso os elétrons seguem como partículas livres. Determine o comprimento de onda de Broglie final dos elétrons.
Para seus cálculos, se necessário, use para os valores de constantes universais:
Resposta:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o comprimento de onda de Broglie final dos elétrons que, partindo do repouso, foram acelerados por uma diferença de potencial
e depois seguem como partículas livres.
Informações/dados fornecidos:
Informações/dados fornecidos:
A resposta solicitada é o comprimento de onda de Broglie final
(em metros).
Passo 2
Conceito principal que vamos usar: a relação de Broglie liga comprimento de onda à quantidade de movimento (momentum):
onde
é a constante de Planck e
é o módulo do momentum linear da partícula. Então precisamos calcular o momentum final
do elétron após a aceleração.
Passo 3
Como os elétrons foram acelerados por uma diferença de potencial
, a energia cinética adquirida é
onde
é a carga elementar. A partir dessa energia cinética podemos obter o momentum. Para velocidades que podem ser uma fração significativa de
(aqui
é algumas dezenas de keV), é mais seguro usar a expressão relativística para o momentum: a energia total é
, e o momentum satisfaz
Portanto
Esta fórmula é exacta no relativístico (dado
e
) e reduz ao caso não-relativístico
quando
.
Passo 4
Calculemos a energia cinética
usando
. Usando os dados fornecidos:
Passo 5
Calculemos a energia de repouso
:
Agora computamos a quantidade dentro da raiz:
Tirando a raiz e dividindo por
obtemos
:
Passo 6
Finalmente usamos a relação de Broglie
. Substituindo os valores:
Em notação conveniente, isso é aproximadamente
, ou seja
(picômetros).
Comentário didático: se tivéssemos usado a aproximação não-relativística obteríamos
, diferença de cerca de
. Por isso a conta relativística é recomendada aqui (não muito mais complicada e mais precisa).
Comentário didático: se tivéssemos usado a aproximação não-relativística