A energia de ionização é a energia que o elétron deve receber para que não esteja mais ligado ao núcleo. Considerando o modelo atômico de Bohr e um um átomo de hidrogênio que está inicialmente no estado \operatorname{com} n=7. Qual é o maior comprimento de onda do fóton que é capaz de ionizar este elétron a partir de seu estado inicial?
Dados:
Nesta questão, use como indicador de separação dos decimais a vírgula ( , ), assim, por exemplo, valor 3,45 \times 10^{-5}=3,45 E-5.
Além disso, não esqueça de selecionar a unidade adequada para sua resposta.
Se necessário, use para os valores destas constantes universais:
h=6,626 \times 10^{-34} J . s
m_{e}=9,11 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}
e=1,6 \times 10^{-19} C
c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}
Resposta: \square Escolher… \boldsymbol{*}

Passo 1

O que o problema pede: determinar o maior comprimento de onda do fóton que consegue ionizar o elétron de um átomo de hidrogênio quando ele está inicialmente no nível n=7.
Informações dadas e úteis (peguei os valores diretamente do enunciado):
h=6,626\times 10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s},\qquad m_e=9,11\times 10^{-31}\\ \mathrm{kg},\qquad e=1,6\times 10^{-19}\\ \mathrm{C},
c=3\times 10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
Pergunta chave: qual o maior comprimento de onda \lambda_{\max} tal que a energia do fóton seja suficiente para levar o elétron do nível n=7 até o estado livre (energia zero)?

Passo 2

Entendendo a energia do elétron no modelo de Bohr (pequena “aula”): no modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio a energia do nível n é dada por um valor negativo (estado ligado)
E_n = -\frac{13,6\\ \mathrm{eV}}{n^2}.
Aqui E_n é a energia do elétron no nível n medida em elétron-volts, o número 13,6\\ \mathrm{eV} é a energia do nível fundamental ( n=1). O sinal negativo indica que o elétron está ligado; para ionizar precisamos fornecer energia igual ao valor absoluto dessa energia (levar E_n até 0). Portanto a energia mínima do fóton necessária (energia de ionização a partir de n) é
E_{\text{ion}} = |E_n| = \frac{13,6\\ \mathrm{eV}}{n^2}.
Substituindo n=7:
E_{\text{ion}}=\frac{13,6\\ \mathrm{eV}}{7^2}=\frac{13,6\\ \mathrm{eV}}{49}=0,2775510204\ldots\\ \mathrm{eV}\approx 0,27755\\ \mathrm{eV}.

Passo 3

Conversão de elétron-volt para joule (outra “aula” rápida): 1\\ \mathrm{eV} é a energia adquirida por uma carga elementar e ao passar por uma diferença de potencial de 1\\ \mathrm{V}, logo em SI
1\\ \mathrm{eV}=e=1,6\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Assim a energia em joules é
E_{\text{ion (J)}} = 0,27755\\ \mathrm{eV}\times 1,6\times 10^{-19}\\ \mathrm{\frac{J}{eV}}.
Calculemos:
E_{\text{ion (J)}} = 0,27755 \times 1,6\times 10^{-19}=4,4408\times 10^{-20}\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Relação entre energia do fóton e comprimento de onda (aula prática): a energia de um fóton é dada por
E=\frac{hc}{\lambda},
onde h é a constante de Planck, c a velocidade da luz e \lambda o comprimento de onda. Para o menor fóton que ioniza (isto é, o fóton de energia mínima suficiente) vamos igualar E a E_{\text{ion}} e resolver para \lambda:
\lambda_{\max}=\frac{hc}{E_{\text{ion (J)}}}.
Agora substituímos os valores numéricos (peguei h e c do enunciado):
hc = (6,626\times 10^{-34})(3\times 10^{8})=1,9878\times 10^{-25}\\ \mathrm{J\cdot m}.
Dividindo:
\lambda_{\max}=\frac{1,9878\times 10^{-25}}{4,4408\times 10^{-20}}=4,4763\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}.
Arredondando com um número razoável de algarismos significativos (três dígitos significativos fica apropriado aqui):
\lambda_{\max}\approx 4,48\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Interpretação final e unidade: esse comprimento de onda corresponde a cerca de 4,48\\ \mu\mathrm{m} (micrômetros), ou 4480\\ \mathrm{nm}. É um comprimento de onda no infravermelho médio. Então o maior comprimento de onda capaz de ionizar o elétron a partir de n=7 é aproximadamente 4,48\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}.

Resposta

\displaystyle 4,48\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}

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