Os elétrons em um osciloscópio são defletidos por duas forças elétricas mutuamente perpendiculares, de tal forma que, em qualquer instante
,
deslocamento é expresso por
e
. Descreva a trajetória dos elétrons e determine sua equação quando:
(a)
,
(b)
©
.
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que um elétron no osciloscópio tem deslocamentos
Isso é um caso clássico de figura de Lissajous (trajetórias de dois movimentos harmônicos perpendiculares).
O que a gente vai precisar:
1) A identidade trigonométrica de soma de ângulos
- A relação fundamental
; - Eliminar o parâmetro
pra achar uma equação só em e .
Passo 2
Vamos eliminar
. Primeiro, defina
Para
$$\frac{y}{A}=\cos(u+\phi_y)
=\cos u\cos\phi_y-\sin u\sin\phi_y,. \frac{y}{A}=\frac{x}{A}\cos\phi_y ;-;\sqrt{1-\Bigl(\frac{x}{A}\Bigr)^2},\sin\phi_y,. $$
Aí, pra ficar uma equação em
e
(sem raiz nem
), elevamos ao quadrado adequadamente e somamos de forma a usar
. O resultado geral é:
Multiplicando tudo por
:
(Eq. geral)\quad
(Eq. geral)\quad
Passo 3
Caso (a)
.
-
e . - Na Eq. geral:
- Isso é, ou seja y = x.
Trajetória: reta de 45°.
Passo 4
Caso (b)
.
-
, . - Na Eq. geral:
Isso é a equação de uma elipse (com eixos inclinados).
Passo 5
Caso ©
.
-
, . - Na Eq. geral:
Trajetória: círculo de raio.
Resposta
(a) Reta
.
(b) Elipse dada por
© Círculo
(b) Elipse dada por
© Círculo