Os elétrons em um osciloscópio são defletidos por duas forças elétricas mutuamente perpendiculares, de tal forma que, em qualquer instante t, o deslocamento é expresso por x=A^* cos (omega t) e phiy=0^circ. Descreva a trajetória dos elétrons e determine sua equação quando:
(a) phiy=30^circ,
(b) phiy=90^circ
© .

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que um elétron no osciloscópio tem deslocamentos
x = Acos(omega t),, y = Acosl(omega t + phiyr),
Isso é um caso clássico de figura de Lissajous (trajetórias de dois movimentos harmônicos perpendiculares).
O que a gente vai precisar:
1) A identidade trigonométrica de soma de ângulos
cos(alpha+beta)=cosalphacosbeta-sinalphasinbeta;
  1. A relação fundamental ;
  2. Eliminar o parâmetro pra achar uma equação só em e .

Passo 2

Vamos eliminar u=omega t,,entãoxA=cos u, . Primeiro, defina
yA=cos(u+phiy) =cos ucosphiy-sin usinphiy, ã
Para yA=xAcosphiy ;-;raiz1-l(xAr)^2,sinphiy, , use a identidade de soma de ângulos:
$$\frac{y}{A}=\cos(u+\phi_y)
=\cos u\cos\phi_y-\sin u\sin\phi_y,. \frac{y}{A}=\frac{x}{A}\cos\phi_y ;-;\sqrt{1-\Bigl(\frac{x}{A}\Bigr)^2},\sin\phi_y,. $$
Aí, pra ficar uma equação em l(xAr)^2 + l(yAr)^2 -2xAyAcosphiy = sin^2phiy, e (sem raiz nem ), elevamos ao quadrado adequadamente e somamos de forma a usar . O resultado geral é:
Multiplicando tudo por :
(Eq. geral)\quad

Passo 3

Caso (a) x^2 + y^2 -2xy,(1)=A^2,(0)Longrightarrow x^2 -2xy +y^2=0, .
  • e .
  • Na Eq. geral:
    - Isso é , ou seja y = x.
    Trajetória: reta de 45°.

Passo 4

Caso (b) x^2 + y^2 -2xyl(tfracraiz32r)=A^2l(tfrac12r)^2 ;Longrightarrow; x^2 + y^2 -raiz3,xy = A^24, .
  • , .
  • Na Eq. geral:
Isso é a equação de uma elipse (com eixos inclinados).

Passo 5

Caso © x^2 + y^2 -2xy,(0)=A^2,(1);Longrightarrow;x^2+y^2=A^2, .
  • , .
  • Na Eq. geral:
    Trajetória: círculo de raio .

Resposta

(a) Reta .
(b) Elipse dada por
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