Um oscilador harmônico amortecido consiste em um bloco ( m=1,91 kg ), uma certa mola ( k=12,6 N / m ) e uma força amortecedora F=-b v. Inicialmente, o bloco oscila com amplitude de 26,2 cm; por causa do amortecimento, a amplitude reduz-se para três quartos desse valor inicial, após quatro ciclos completos.
(a) Qual o valor de b?
(b) Qual a quantidade de energia dissipada durante esses quatro ciclos?

Passo 1

Beleza, o enunciado fala de um bloco massa m = 1,91 kg preso a uma mola k = 12,6 N/m, com uma força de amortecimento F = −b v. A amplitude inicial é A₀ = 26,2 cm e, depois de quatro ciclos, ela cai pra ¾ desse valor.
Conteúdo: oscilador harmônico amortecido.
Vamos precisar de:
  1. A fórmula da decaída exponencial da amplitude:
    , com .
  2. Relação período T ≈ , onde .
  3. Energia elástica .

Passo 2

Queremos b tal que, após 4 ciclos (tempo ), a amplitude valha .
  1. Calcular :
    .
  2. Período .
  3. A condição de decaída:
    .
    Logo
    ,
    .
  4. Substituindo :
    .
  5. Como , vem
    .

Passo 3

Energia dissipada em 4 ciclos é a diferença entre energia inicial e final:
  1. Energia inicial , com :
    .
  2. Amplitude final .
    .
  3. Energia dissipada:
    .

Resposta

(a)
(b) Energia dissipada

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