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ar escoa sobre a parte superior da asa de um avião, cuja área é
, com velocidade
, e sob a parte inferior da asa com velocidade
. Mostre que a equação de Bernoulli prevê que a força de sustentação
orientada para cima sobre a asa será
onde
é a massa específica do ar. (Sugestão: Aplique a equação de Bernoulli a uma linha de corrente bem próxima à superfície superior da asa e a outra linha de corrente igualmente próxima à superfície inferior. Você pode justificar o fato de considerar-se as constantes para as duas linhas de corrente iguais?)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício pede. A gente tem ar passando por cima e por baixo da asa, com áreas iguais
, mas com velocidades diferentes:
(topo) e
(baixo). A matéria aqui é Dinâmica de Fluidos – mais especificamente a equação de Bernoulli. Para resolver, vamos usar:
- A equação de Bernoulli
. - Comparar duas linhas de corrente: uma bem grudada na superfície de cima e outra na de baixo.
- Mostrar que a diferença de pressão gera a força de sustentação
.
Passo 2
Aplicando Bernoulli na linha de corrente de cima:
– Escolho um ponto “longe” da asa, onde a pressão é
, a velocidade é
e a altura
.
– Escolho um ponto na superfície de cima da asa, onde a pressão é
, a velocidade é
e a altura é praticamente igual a
(a asa é bem fininha).
Como a equação diz que
nos dois pontos da mesma corrente temos
[
P_\infty + \tfrac12,\rho,v_\infty^2 + \rho g,h_\infty
P_{\rm top} + \tfrac12,\rho,v_t^2 + \rho g,h_\infty.
]
Cancelando
, obtemos
[
P_{\rm top}
P_\infty + \tfrac12,\rho\bigl(v_\infty^2 - v_t^2\bigr).
]
]
Passo 3
Fazemos a mesma coisa embaixo da asa:
[
P_\infty + \tfrac12,\rho,v_\infty^2 + \rho g,h_\infty
P_{\rm bottom} + \tfrac12,\rho,v_u^2 + \rho g,h_\infty
;;\Longrightarrow;;
P_{\rm bottom}
P_\infty + \tfrac12,\rho\bigl(v_\infty^2 - v_u^2\bigr).
]
]
Agora, como as duas linhas de corrente vêm do mesmo fluxo externo, têm o mesmo
,
e
. Por isso a “constante” de Bernoulli é igual pras duas.
Passo 4
A força de sustentação
é a diferença de pressão entre baixo e cima vezes a área
: