1. O ar escoa sobre a parte superior da asa de um avião, cuja área é A, com velocidade v1, e sob a parte inferior da asa com velocidade v1. Mostre que a equação de Bernoulli prevê que a força de sustentação S orientada para cima sobre a asa será
L=12 rho A(vt^2-vu^2)
onde rho é a massa específica do ar. (Sugestão: Aplique a equação de Bernoulli a uma linha de corrente bem próxima à superfície superior da asa e a outra linha de corrente igualmente próxima à superfície inferior. Você pode justificar o fato de considerar-se as constantes para as duas linhas de corrente iguais?)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício pede. A gente tem ar passando por cima e por baixo da asa, com áreas iguais , mas com velocidades diferentes: (topo) e (baixo). A matéria aqui é Dinâmica de Fluidos – mais especificamente a equação de Bernoulli. Para resolver, vamos usar:
  1. A equação de Bernoulli .
  2. Comparar duas linhas de corrente: uma bem grudada na superfície de cima e outra na de baixo.
  3. Mostrar que a diferença de pressão gera a força de sustentação .

Passo 2

Aplicando Bernoulli na linha de corrente de cima:
– Escolho um ponto “longe” da asa, onde a pressão é P + tfrac12,rho v^2 + rho g h = constante, , a velocidade é Pinfty + tfrac12,rho,vinfty^2 + rho g,hinfty = Prm top + tfrac12,rho,vt^2 + rho g,hinfty e a altura Prm top = Pinfty + tfrac12,rhol(vinfty^2 - vt^2r) .
– Escolho um ponto na superfície de cima da asa, onde a pressão é , a velocidade é e a altura é praticamente igual a (a asa é bem fininha).
Como a equação diz que

nos dois pontos da mesma corrente temos
[
P_\infty + \tfrac12,\rho,v_\infty^2 + \rho g,h_\infty

P_{\rm top} + \tfrac12,\rho,v_t^2 + \rho g,h_\infty.
]
Cancelando , obtemos
[
P_{\rm top}

P_\infty + \tfrac12,\rho\bigl(v_\infty^2 - v_t^2\bigr).
]

Passo 3

Fazemos a mesma coisa embaixo da asa:
[
P_\infty + \tfrac12,\rho,v_\infty^2 + \rho g,h_\infty

P_{\rm bottom} + \tfrac12,\rho,v_u^2 + \rho g,h_\infty
;;\Longrightarrow;;
P_{\rm bottom}

P_\infty + \tfrac12,\rho\bigl(v_\infty^2 - v_u^2\bigr).
]
Agora, como as duas linhas de corrente vêm do mesmo fluxo externo, têm o mesmo Pinfty + tfrac12,rho,vinfty^2 + rho g,hinfty = Prm bottom + tfrac12,rho,vu^2 + rho g,hinfty ;;Longrightarrow;; Prm bottom = Pinfty + tfrac12,rhol(vinfty^2 - vu^2r) , e . Por isso a “constante” de Bernoulli é igual pras duas.

Passo 4

A força de sustentação L = l(Prm bottom - Prm topr),A = tfrac12,rhol(vt^2 - vu^2r),A é a diferença de pressão entre baixo e cima vezes a área :

Resposta

L = 12,rho,Al(vt^2 - vu^2r)

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