Um elevador de 1360 kg de peso acha-se suspenso por um cabo de 3,65 m de comprimento pesando 20 kg por metro linear. Determine o trabalho necessário para elevá-lo de 3 m , enrolandose o cabo numa roldana.

Passo 1

Vamos levantar um elevador de massa me=1360 kg através de uma altura H=3 m, puxando uma corda de comprimento inicial L=3,65 m que tem massa linear lambda=20 kg/m. A aceleração da gravidade vale g=9,8 m/s ^2. Como, à medida que subimos, parte da corda vai sendo enrolada na roldana, a força de tração varia com a altura.

Passo 2

Em um instante em que o elevador subiu uma altura y, ainda estão pendurados L-y metros de corda. A massa pendente total é
me + lambda,(L - y),,
logo a força instantânea de tração é
F(y)=l(me + lambda (L - y)r),g
O trabalho total é
W=integral0^HF(y),dy =integral0^Hl(me + lambda(L - y)r)g,dy

Passo 3

Vamos calcular a integral:
W=gintegral0^Hl(me + lambda L - lambda yr),dy =gl[me y + lambda L,y - tfrac12,lambda y^2r]0^H
W =gl(me H + lambda L,H - tfrac12,lambda H^2r)

Passo 4

Substituindo me=1360, lambda=20, L=3,65, H=3 e g=9,8:
me H =1360cdot3 =4080, lambda L,H - tfrac12lambda H^2 =20,(3,65cdot3 - tfrac12cdot3^2) =20,(10,95 - 4,5) =20cdot6,45 =129
Logo
W =9,8,(4080 +129) =9,8cdot4209 approx4,12times10^4 J

Resposta

O trabalho necessário é aproximadamente
4,12times10^4 J

Exercícios relacionados