Resolva as seguintes equações exponenciais:
5^x-2-5^x+5^x+1=505

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação exponencial
5^x-2 - 5^x + 5^x+1 = 505
O conteúdo principal é manipular potências de mesma base usando as propriedades de expoentes e, em seguida, fazer uma substituição para obter uma equação algébrica simples.

Passo 2

Vamos escrever todas as potências em função de 5^x. Como
5^x-2 = 5^xcdot 5^-2 = 5^x25,
e
5^x+1 = 5^xcdot 5 = 5,5^x,
a equação fica
5^x25 ;-; 5^x ;+; 5,5^x ;=; 505

Passo 3

Definimos a substituição
A = 5^x
Assim a equação se transforma em
A25 - A + 5A = 505
Agora basta resolver essa equação linear em A. Primeiro, somamos os termos semelhantes:
A25 +(-1 +5),A = A25 +4A = 505
Multiplicando tudo por 25 para eliminar o denominador,
25l(tfracA25 +4Ar) = 25cdot 505 Longrightarrow A +100A = 12625 Longrightarrow 101A = 12625
Logo,
A = 12625101 = 125

Passo 4

Voltando à variável original, temos
5^x = A = 125 = 5^3,
e portanto
x = 3

Resposta

x = 3

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