No elevador de um edificio entram seis pessoas. De quantas maneiras essas seis pessoas podem saltar no primeiro, segundo e terceiro andares, de forma que salte pelo menos uma pessoa em cada um desses andares?
Passo 1
O enunciado diz que temos seis pessoas distintas que sairão do elevador em um dos três andares 1, 2 ou 3, e queremos contar de quantas maneiras isso pode ocorrer de forma que em cada andar salte pelo menos uma pessoa. Este é um problema de contar funções sobrejetoras de um conjunto com 6 elementos para um conjunto com 3 elementos, e vamos usar o princípio da inclusão–exclusão para resolver.
Passo 2
Primeiro, sem nenhuma restrição, cada uma das 6 pessoas tem 3 escolhas de andar. Logo, o número total de maneiras é
Passo 3
Agora, para garantir que cada andar receba pelo menos uma pessoa, eliminamos as situações em que algum andar fica vazio. Definimos para
o conjunto
Note que
pois, se o andar
está vazio, cada pessoa só pode escolher entre os outros 2 andares. De forma semelhante, para
,
pois se dois andares estão vazios, todos devem ir ao único andar restante. E
pois não há como todos os três andares estarem vazios.
Passo 4
Pelo princípio da inclusão–exclusão, o número de configurações em que pelo menos um andar fica vazio é
Passo 5
Portanto, o número de maneiras em que nenhum andar fica vazio (isto é, cada andar tem pelo menos uma pessoa) é