No elevador de um edificio entram seis pessoas. De quantas maneiras essas seis pessoas podem saltar no primeiro, segundo e terceiro andares, de forma que salte pelo menos uma pessoa em cada um desses andares?

Passo 1

O enunciado diz que temos seis pessoas distintas que sairão do elevador em um dos três andares 1, 2 ou 3, e queremos contar de quantas maneiras isso pode ocorrer de forma que em cada andar salte pelo menos uma pessoa. Este é um problema de contar funções sobrejetoras de um conjunto com 6 elementos para um conjunto com 3 elementos, e vamos usar o princípio da inclusão–exclusão para resolver.

Passo 2

Primeiro, sem nenhuma restrição, cada uma das 6 pessoas tem 3 escolhas de andar. Logo, o número total de maneiras é
3^6 = 729

Passo 3

Agora, para garantir que cada andar receba pelo menos uma pessoa, eliminamos as situações em que algum andar fica vazio. Definimos para i=1,2,3 o conjunto
Ai = configurações em que o andar (i) está vazio çõá
Note que
|Ai| = 2^6 = 64
pois, se o andar i está vazio, cada pessoa só pode escolher entre os outros 2 andares. De forma semelhante, para ineq j,
|Ai cap Aj| = 1^6 = 1,
pois se dois andares estão vazios, todos devem ir ao único andar restante. E
|A1 cap A2 cap A3| = 0,
pois não há como todos os três andares estarem vazios.

Passo 4

Pelo princípio da inclusão–exclusão, o número de configurações em que pelo menos um andar fica vazio é
l|A1cup A2cup A3r| = sumi=1^3|Ai| - sum1<= i<j<=3|Aicap Aj| + |A1cap A2cap A3| = 3cdot64 ;-; 3cdot1 ;+; 0 = 192 - 3 = 189

Passo 5

Portanto, o número de maneiras em que nenhum andar fica vazio (isto é, cada andar tem pelo menos uma pessoa) é
3^6 ;-; 189 ;=; 729 - 189 = 540

Resposta

540 maneiras.

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