Quantos números de n algarismos ( n >= 3 ) podemos formar com os algarismos 1, 2 e 3, de forma que em cada número figure cada um desses três algarismos pelo menos uma vez?

Passo 1

O enunciado pede o número de “palavras” de comprimento n formadas com os dígitos 1,2,3 de modo que cada um dos três dígitos apareça pelo menos uma vez. O conteúdo principal aqui é contagem por princípio da inclusão–exclusão.

Passo 2

Primeiro, contamos todas as sequências de comprimento n sem nenhuma restrição. Como em cada posição temos 3 escolhas, o total é
3^n

Passo 3

Agora contamos quantas sequências faltam conter pelo menos um dos dígitos. Seja Ai o conjunto de sequências que não contêm o dígito i. Então:
  • lvert Airvert = 2^n porque sobram 2 dígitos para preencher n posições.
  • lvert Aicap Ajrvert = 1^n = 1 para ineq j, pois aí só sobra 1 dígito.
    Pelo princípio da inclusão–exclusão, o total que omite pelo menos um dígito é
llvert A1cup A2cup A3rrvert = sumi=1^3lvert Airvert - sum1<= i<j<=3lvert Aicap Ajrvert = 3cdot2^n - 3cdot1

Passo 4

As sequências que atendem à condição (“cada dígito aparece pelo menos uma vez”) são as que restam após tirar as que faltam algum dígito. Logo,
querido = 3^n ;-;l(3cdot2^n - 3r) = 3^n - 3cdot2^n + 3

Resposta

3^n ;-;3cdot2^n;+;3

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