Quantos números de
algarismos (
) podemos formar com os algarismos 1, 2 e 3, de forma que em cada número figure cada um desses três algarismos pelo menos uma vez?
Passo 1
O enunciado pede o número de “palavras” de comprimento
formadas com os dígitos
de modo que cada um dos três dígitos apareça pelo menos uma vez. O conteúdo principal aqui é contagem por princípio da inclusão–exclusão.
Passo 2
Primeiro, contamos todas as sequências de comprimento
sem nenhuma restrição. Como em cada posição temos 3 escolhas, o total é
Passo 3
Agora contamos quantas sequências faltam conter pelo menos um dos dígitos. Seja
o conjunto de sequências que não contêm o dígito
. Então:
-
porque sobram 2 dígitos para preencher posições. -
para , pois aí só sobra 1 dígito.
Pelo princípio da inclusão–exclusão, o total que omite pelo menos um dígito é
Passo 4
As sequências que atendem à condição (“cada dígito aparece pelo menos uma vez”) são as que restam após tirar as que faltam algum dígito. Logo,