Determine se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente. Use qualquer teste que pareça mais apropriado para justificar sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumn=1^+infty(-1)^n n^2+3(2n-5)^2
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar o teste de convergência absoluta (série das magnitudes) e o teste da condição necessária de convergência (termo geral tende a zero).

Passo 2

Analisando a convergência absoluta, consideramos
sumn=1^+inftyl|;(-1)^n n^2+3(2n-5)^2r| =sumn=1^+inftyn^2+3(2n-5)^2
Como
limntoinftyn^2+3(2n-5)^2 =limntoinftyn^2(1+3/n^2)4n^2(1-5/(2n))^2 =14neq0,
o termo geral dessa série não tende a zero, logo ela diverge pelo teste do termo geral. Portanto não é absolutamente convergente.

Passo 3

Para qualquer série, uma condição necessária de convergência é que o termo geral tenda a zero. No caso da série original,
an = (-1)^nn^2+3(2n-5)^2,
temos
limntoinftyan = pm14neq0
Como o termo geral não tende a zero, a série não pode convergir, nem condicionalmente.

Resposta

A série é divergente.

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