Quantos inteiros entre 1 e 10000 têm soma de seus algarismos igual a 23?

Passo 1

Queremos contar quantos inteiros entre 1 e 10000 têm soma dos dígitos igual a 23. Observe que o número 10000 tem soma dos dígitos 1, então não o contaremos. Podemos então modelar todos os inteiros de 1 a 9999 como um quartetos de dígitos (d1,d2,d3,d4) com 0<= di<=9 e exigir
d1+d2+d3+d4=23
O conteúdo usado será contagem de soluções inteiras não negativas com limite superior, via Princípio da Inclusão-Exclusão.

Passo 2

Sem impor o teto di<=9, o número de soluções de
d1+d2+d3+d4=23, di>=0
vem de “estrelas e barras” e vale
binom23+4-14-1 ;=;binom263 ;=;2600

Passo 3

Agora aplicamos Inclusão-Exclusão para excluir as soluções em que algum di>=10. Seja Ai o conjunto de soluções com di>=10. Para contar #Ai, fazemos a transformação di'=di-10>=0, dando
di'+sumjneq idj =23-10=13,
com 4 variáveis não negativas, o que gera
#Ai = binom13+4-13 = binom163 =560
Como há 4 escolhas de i, somamos 4cdot560 para o termo de primeira ordem.

Passo 4

Para a interseção Aicap Aj (dois dígitos >=10), subtraímos 20 de 23, sobrando soma 3 em 4 variáveis:
#(Aicap Aj) = binom3+4-13 = binom63 =20
binom42=6 pares (i,j), e não há soluções para três ou quatro variáveis >=10 porque 23-30<0.

Passo 5

Pelo Princípio da Inclusão-Exclusão,
#somas=23 =2600 ;-;4cdot560 ;+;6cdot20 =2600-2240+120 =480

Resposta

480

Exercícios relacionados