Quantos inteiros entre 1 e 10000 têm soma de seus algarismos igual a 23?
Passo 1
Queremos contar quantos inteiros entre 1 e 10000 têm soma dos dígitos igual a 23. Observe que o número 10000 tem soma dos dígitos
, então não o contaremos. Podemos então modelar todos os inteiros de 1 a 9999 como um quartetos de dígitos
com
e exigir
O conteúdo usado será contagem de soluções inteiras não negativas com limite superior, via Princípio da Inclusão-Exclusão.
Passo 2
Sem impor o teto
, o número de soluções de
vem de “estrelas e barras” e vale
Passo 3
Agora aplicamos Inclusão-Exclusão para excluir as soluções em que algum
. Seja
o conjunto de soluções com
. Para contar
, fazemos a transformação
, dando
com 4 variáveis não negativas, o que gera
Como há 4 escolhas de
, somamos
para o termo de primeira ordem.
Passo 4
Para a interseção
(dois dígitos
), subtraímos 20 de 23, sobrando soma 3 em 4 variáveis:
Há
pares
, e não há soluções para três ou quatro variáveis
porque
.
Passo 5
Pelo Princípio da Inclusão-Exclusão,
Resposta
480