Uma solução binária concentrada na espécie 2 (mas \mathrm{x}_{2}<1 ) está em equilíbrio com uma fase vapor contendo as duas espécies (1 e 2). A pressão desse sistema binário é 1 bar e a T é de 25 { }^{\circ} \mathrm{C}. A partir dos dados seguintes, estime x e \mathrm{y} . \mathrm{H} 1=200 bar e P_{2}{ }^{v a p}=0,10 bar.

Passo 1

O enunciado pede para estimar x e y. Vou assumir (e vou declarar explicitamente) que:
  • x significa a fração molar da espécie 1 na fase líquida, isto é x\equiv x_1.
  • y significa a fração molar da espécie 1 na fase vapor, isto é y\equiv y_1.
Informações fornecidas (pegar do enunciado):
P_{\text{total}} = 1\\ \text{bar},
T = 25^\circ\mathrm{C},
H_1 = 200\\ \text{bar},
P_2^{\text{vap}} = 0,10\\ \text{bar}.
Também foi dito que a solução é concentrada na espécie 2 (portanto x_2 próximo de 1, mas x_2<1), e que a fase vapor contém as duas espécies.
O que precisamos determinar: \;x_1 e \;y_1.

Passo 2

Quais equações de equilíbrio vamos usar (e por quê). Explico cada lei e as variáveis para você entender na prova:
  1. Henry para a espécie 1 (soluto diluído):
p_1 = x_1 H_1.
Aqui p_1 é a pressão parcial da espécie 1 na fase vapor (em bar), x_1 é a fração molar da espécie 1 na fase líquida, e H_1 é a constante de Henry da espécie 1 (unidade bar). Henry vale quando o soluto é pouco concentrado e relaciona a pressão parcial com a fração molar na fase líquida.
  1. Raoult para a espécie 2 (solvente):
p_2 = x_2 P_2^{\text{vap}}.
Aqui p_2 é a pressão parcial da espécie 2, x_2 é a fração molar da espécie 2 na fase líquida, e P_2^{\text{vap}} é a pressão de vapor do líquido puro 2 à temperatura dada. Raoult é apropriado quando o componente 2 se comporta aproximadamente como um solvente ideal.
  1. Conservação de frações molares na fase líquida:
x_1 + x_2 = 1 \quad\Rightarrow\quad x_2 = 1 - x_1.
  1. Pressão total como soma das parciais (lei dos gases ideais aplicada por frações molares no misto de vapores):
P_{\text{total}} = p_1 + p_2.
Assumimos comportamento ideal o suficiente para aplicar essas leis (motivação: dados dados de Henry e P2^{vap} e situação descrita).

Passo 3

Agora escrevo a equação do balanço de pressão substituindo as leis:
Primeiro escrevo p_1 e p_2 em função de x_1:
p_1 = x_1 H_1,
p_2 = (1 - x_1) P_2^{\text{vap}}.
Somando:
P_{\text{total}} = x_1 H_1 + (1 - x_1) P_2^{\text{vap}}.
Essa é a equação que contém a incógnita x_1.

Passo 4

Substituo os números dados na equação anterior. Lembra: use vírgula para decimal em Português.
1 = x_1\cdot 200 + (1 - x_1)\cdot 0,10.
Agora desenvolvo o lado direito passo a passo:
1 = 200 x_1 + 0,10 - 0,10 x_1.
Agrupo os termos em x_1:
1 = (200 - 0,10)\,x_1 + 0,10.
Calculo 200 - 0,10 = 199,90. Então:
1 = 199,90\,x_1 + 0,10.
Agora isolo x_1:
199,90\,x_1 = 1 - 0,10 = 0,90,
x_1 = \frac{0,90}{199,90}.

Passo 5

Faço a divisão sem pular etapas (multiplicando numerador e denominador por 100 para ficar mais claro, se você preferir fazer à mão):
x_1 = \frac{0{,}90}{199{,}90} \approx 0{,}00450225\ldots
Arredondando com um número razoável de algarismos significativos:
x_1 \approx 0{,}00450.
Interpretação rápida: a fração molar da espécie 1 na fase líquida é bem pequena (≈0,45%), como esperado para um soluto.

Passo 6

Calculo x_2 por completude:
x_2 = 1 - x_1 \approx 1 - 0{,}00450225 \approx 0{,}99549775 \approx 0{,}9955.

Passo 7

Agora obtenho as pressões parciais (úteis para achar y_1 e y_2):
p_1 = x_1 H_1 \approx 0{,}00450225 \times 200 \approx 0{,}900450.
p_2 = (1 - x_1)P_2^{\text{vap}} \approx 0{,}99549775 \times 0{,}10 \approx 0{,}0995498.
Confira: p_1 + p_2 \approx 0{,}900450 + 0{,}0995498 \approx 1{,}00000 bar, consistente com P_{\text{total}}=1 bar.

Passo 8

Finalmente calculo as frações molares na fase vapor y_i = p_i / P_{\text{total}}. Como P_{\text{total}}=1 bar, isto simplifica:
y_1 = \frac{p_1}{1} = p_1 \approx 0{,}90045 \approx 0{,}900.
y_2 = \frac{p_2}{1} = p_2 \approx 0{,}09955 \approx 0{,}0996.
Interpretação física: mesmo sendo o soluto pouco presente no líquido ( x_1 pequeno), ele domina a fase vapor ( y_1 grande) porque sua constante de Henry é alta — para uma pequena fração líquida gera-se uma pressão parcial significativa.

Resposta

x_1 \approx 0{,}00450\n
y_1 \approx 0{,}90045

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