O elevador de uma mina é empregado no transporte vertical de minério num poço de 40 m de profundidade. Sabendo-se que o elevador mais a carga transportada perfazem juntos 5 toneladas, e que o cabo do elevador não suporta esforço maior do que 7,5 toneladas, determinar, sem que haja ruptura do cabo, qual o menor tempo em que pode ser feita a ascensão.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o menor tempo em que o elevador sobe
sem romper o cabo. As informações dadas são:
Queremos o menor tempo de subida partindo do repouso e chegando ao repouso no topo, de modo que a tensão no cabo nunca exceda o limite de
toneladas.
Passo 2
Primeiro vamos converter para unidades do SI (porque as fórmulas de força e aceleração usam metros e segundos).
- Uma tonelada é
. Portanto a massa é
- A máxima tensão admissível em Newtons é a massa equivalente multiplicada por
. Tomaremos . Então
Passo 3
A física básica: aplique a segunda lei de Newton na direção vertical (eixo positivo para cima). Se
é a aceleração para cima e
a tensão do cabo, então a resultante
é
Isolando a tensão:
Aqui
é a massa total (em kg),
a aceleração da gravidade (
),
a aceleração para cima (
) e
a tensão (N).
Passo 4
Para não romper o cabo precisamos ter
. Usando
obtemos
Agora calculamos o valor máximo admissível de
. Primeiro calcule
em Newtons:
Mas é mais simples usar a razão:
Logo
Portanto a maior aceleração para cima permitida sem romper o cabo é
.
Passo 5
Agora pensar no movimento que minimiza o tempo: para percorrer uma distância fixa partindo e terminando em repouso, e tendo limite superior para a aceleração para cima, o menor tempo é obtido aplicando a maior aceleração possível para aumentar a velocidade rapidamente e, depois, aplicando a maior desaceleração possível (no nosso caso podemos usar desaceleração de mesma magnitude, porque isso não aumenta a tensão além do limite). Esse é um controle “bang–bang”: acelerar com
até certo ponto e depois desacelerar com
de modo a parar exatamente no topo. A simetria entre aceleração e desaceleração (mesma |a|) é ótima quando partimos e chegamos com velocidade zero.
Para movimento com aceleração constante a partir do repouso, a relação entre deslocamento
, aceleração
e tempo
é
onde
é a distância percorrida durante esse trecho,
é a aceleração constante e
o tempo do trecho.
Passo 6
Como usamos aceleração e desaceleração simétricas com mesma magnitude
, dividimos a distância total
em duas metades:
O tempo de subida durante a fase de aceleração é
Calculemos numericamente:
O tempo total é duas vezes isso (acelera + desacelera):
Arredondando para duas casas decimais obtemos
.
Passo 7
Verificação rápida: durante a fase de aceleração a tensão é exatamente o limite:
e de fato
. Ou seja, usamos a tensão máxima permitida sem ultrapassá‑la. Durante a desaceleração a tensão é menor que o peso, então não há risco de ruptura nesse trecho.