O elevador de uma mina é empregado no transporte vertical de minério num poço de 40 m de profundidade. Sabendo-se que o elevador mais a carga transportada perfazem juntos 5 toneladas, e que o cabo do elevador não suporta esforço maior do que 7,5 toneladas, determinar, sem que haja ruptura do cabo, qual o menor tempo em que pode ser feita a ascensão.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o menor tempo em que o elevador sobe 40\\ \text{m} sem romper o cabo. As informações dadas são:
\text{profundidade} = 40\\ \text{m},
\text{massa total (elevador + carga)} = 5\\ \text{toneladas},
\text{cabo suporta no máximo} = 7,5\\ \text{toneladas}.á
Queremos o menor tempo de subida partindo do repouso e chegando ao repouso no topo, de modo que a tensão no cabo nunca exceda o limite de 7,5 toneladas.

Passo 2

Primeiro vamos converter para unidades do SI (porque as fórmulas de força e aceleração usam metros e segundos).
  • Uma tonelada é 1000\\ \text{kg}. Portanto a massa é
m = 5\\ \text{t} = 5\cdot 1000\\ \text{kg} = 5000\\ \text{kg}.
  • A máxima tensão admissível em Newtons é a massa equivalente multiplicada por g. Tomaremos g=9{,}8\\ \text{m/s}^2. Então
T_{\max} = 7{,}5\\ \text{t} = 7{,}5\cdot 1000\\ \text{kg}\cdot 9{,}8\\ \text{m/s}^2.

Passo 3

A física básica: aplique a segunda lei de Newton na direção vertical (eixo positivo para cima). Se a é a aceleração para cima e T a tensão do cabo, então a resultante m a é
m a = T - m g.
Isolando a tensão:
T = m(g + a).
Aqui m é a massa total (em kg), g a aceleração da gravidade ( \text{m/s}^2), a a aceleração para cima ( \text{m/s}^2) e T a tensão (N).

Passo 4

Para não romper o cabo precisamos ter T \le T_{\max}. Usando T = m(g+a) obtemos
m(g + a)\le T_{\max}\quad\Rightarrow\quad a \le \frac{T_{\max}}{m} - g.
Agora calculamos o valor máximo admissível de a. Primeiro calcule T_{\max} em Newtons:
T_{\max}=7{,}5\cdot 1000\cdot 9{,}8 = 7{,}5\cdot 9{,}8\cdot 1000.
Mas é mais simples usar a razão:
\frac{T_{\max}}{m}=\frac{7{,}5\cdot 1000\cdot 9{,}8}{5\cdot 1000}= \frac{7{,}5}{5}\cdot 9{,}8 = 1{,}5\cdot 9{,}8.
Logo
a_{\max}=1{,}5\cdot 9{,}8 - 9{,}8 = 0{,}5\cdot 9{,}8 = 4{,}9\\ \text{m/s}^2.
Portanto a maior aceleração para cima permitida sem romper o cabo é \;a_{\max}=4{,}9\\ \text{m/s}^2.

Passo 5

Agora pensar no movimento que minimiza o tempo: para percorrer uma distância fixa partindo e terminando em repouso, e tendo limite superior para a aceleração para cima, o menor tempo é obtido aplicando a maior aceleração possível para aumentar a velocidade rapidamente e, depois, aplicando a maior desaceleração possível (no nosso caso podemos usar desaceleração de mesma magnitude, porque isso não aumenta a tensão além do limite). Esse é um controle “bang–bang”: acelerar com a_{\max} até certo ponto e depois desacelerar com -a_{\max} de modo a parar exatamente no topo. A simetria entre aceleração e desaceleração (mesma |a|) é ótima quando partimos e chegamos com velocidade zero.
Para movimento com aceleração constante a partir do repouso, a relação entre deslocamento s, aceleração a e tempo t é
s=\tfrac{1}{2} a t^2,
onde s é a distância percorrida durante esse trecho, a é a aceleração constante e t o tempo do trecho.

Passo 6

Como usamos aceleração e desaceleração simétricas com mesma magnitude \,a_{\max}\,, dividimos a distância total S=40\\ \text{m} em duas metades:
s_1=s_2=\frac{S}{2}=20\\ \text{m}.
O tempo de subida durante a fase de aceleração é
t_1=\sqrt{\frac{2 s_1}{a_{\max}}}=\sqrt{\frac{2\cdot 20}{4{,}9}}=\sqrt{\frac{40}{4{,}9}}.
Calculemos numericamente:
\frac{40}{4{,}9}\approx 8{,}1632653\quad\Rightarrow\quad t_1\approx 2{,}857\\ \text{s}.
O tempo total é duas vezes isso (acelera + desacelera):
t_{\text{total}} = 2 t_1 \approx 2\cdot 2{,}857 \approx 5{,}714\\ \text{s}.
Arredondando para duas casas decimais obtemos 5{,}71\\ \text{s}.

Passo 7

Verificação rápida: durante a fase de aceleração a tensão é exatamente o limite:
T = m(g + a_{\max}) = 5000\,(9{,}8+4{,}9)=5000\cdot 14{,}7 = 73\,500\\ \text{N},
e de fato T_{\max}=7{,}5\cdot 1000\cdot 9{,}8=73\,500\\ \text{N}. Ou seja, usamos a tensão máxima permitida sem ultrapassá‑la. Durante a desaceleração a tensão é menor que o peso, então não há risco de ruptura nesse trecho.

Resposta

5{,}71\\ \text{s}

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